Persamaangaris B seperti tampak pada gambar adalah - 9277819 KimAnna KimAnna 04.02.2017 Sekolah Menengah Pertama terjawab • terverifikasi oleh ahli Persamaan garis B seperti tampak pada gambar adalah 1 Lihat jawaban Iklan Iklan DenmazEvan DenmazEvan Kategori: Matematika Bab Persamaan garis Kelas: XI SMA Perhitungan dapat dilihat pada Vay Tiền Nhanh Chỉ Cần Cmnd. Postingan ini membahas contoh soal persamaan garis lurus dan pembahasannya atau penyelesaiannya + jawaban. Penerapan persamaan garis lurus dalam kehidupan sehari-hari sangat banyak, salah satunya adalah tangga. Tangga yang sering kalian temui di kehidupan sehari-hari biasanya berbentuk garis lurus dan selalu diletakkan dengan posisi miring terhadap lantai. Secara umum persamaan garis lurus mempunyai bentuk y = mx + c, dengan m menyatakan gradien. Sedangkan rumus persamaan garis lurus sebagai persamaan garis lurusPersamaan pertama adalah persamaan garis lurus dengan gradien dan melewati titik x1, y1. Sedangkan persamaan kedua adalah persamaan garis lurus yang melalui dua titik yaitu A x1, y1 dan titik B x2, y2.Contoh soal 1 UN 2016 SMPPersamaan garis yang melalui titik R-3, -2 dengan gradien 2 adalah…A. 2x + y – 4 = 0 B. 2x – y + 4 = 0C. 2x + y + 4 = 0 D. 2x – y – 4 = 0Pembahasan / penyelesaian soalPada soal ini diketahuix1 = – 3y1 = – 2m = 2Cara menjawab soal ini sebagai berikuty – y1 = m x – x1y – -2 = 2 x – -3y + 2 = 2 x + 3y + 2 = 2x + 62x – y + 6 – 2 = 02x – y + 4 = 0Soal ini jawabannya soal 2 UN 2016Persamaan garis yang melalui titik P-1, 2 dengan gradien 1/2 adalah…A. x + 2y – 5 = 0 B. x – 2y – 5 = 0 C. x – 2y + 5 = 0 D. x + 2y + 5 = 0Pembahasan / penyelesaian soalPada soal ini diketahuix1 = – 1y1 = 2m = 1/2Cara menentukan persamaan garis lurus sebagai berikuty – y1 = m x – x1y – 2 = 1/2 x – -1y – 2 = 1/2 x + 1y – 2 = 1/2x + 1/21/2x – y + 1/2 + 21/2x – y + 5/2 = 0 dikali 2x – 2y + 5 = 0Soal ini jawabannya soal 3 UN 2017 SMPPersamaan garis melalui titik -2, 3 dan bergradien -3 adalah …A. x + 3y + 3 = 0 B. x – 3y + 3 = 0 C. 3x + y + 3 = 0 D. 3x – y + 3 = 0Pembahasan / penyelesaian soalPada soal ini diketahuix1 = -2y1 = 3m = -3Cara menjawab soal ini sebagai berikuty – y1 = m x – x1y – 3 = -3 x – -2y – 3 = -3 x + 2y – 3 = -3x – 63x + y – 3 + 6 = 03x + y + 3 = 0Soal ini jawabannya soal 4Persamaan garis yang melalui titik 2, 5 dan 3, 9 adalah…A. y = 4x – 3 B. y = 4x – 5 C. y = 4x – 8 D. y = 4x – 13Pembahasan / penyelesaian soalPada soal ini diketahuix1 = 2y1 = 5x2 = 3y2 = 9Cara menjawab soal ini sebagai berikut→ y – y1y2 – y1 = x – x1x2 – x1 → y – 59 – 5 = x – 23 – 2 → y – 54 = x – 21 → y – 5 = 4 x – 2 → y – 5 = 4x – 8 → y = 4x – 8 + 5 = 4x – 3Soal ini jawabannya soal 5Persamaan garis lurus yang melalui titik 0, 3 dan 4, 0 adalah…A. y = -4/3 x + 3 B. y = – 3/4 x + 3 C. y = 3/4 x + 3 D. y = 4/3 x + 3Pembahasan / penyelesaian soalDiketahui x1 = 0y1 = 3x2 = 4y2 = 0Cara menjawab soal ini sebagai berikut.→ y – y1y2 – y1 = x – x1x2 – x1 → y – 33 – 0 = x – 00 – 4 → y – 33 = x-4 → -4 y – 3 = 3x → -4y + 12 = 3x → 4y = -3x + 12 → y = – 3/4 x + 3Soal ini jawabannya soal 6Persamaan garis gambar dibawah ini adalah…Contoh soal persamaan garis lurus nomor 6A. y = x – 3B. y = 3 – x C. y = x + 3 D. y = 3xPembahasan / penyelesaian soalGaris lurus pada gambar diatas melalui dua titik yaitu 3, 0 dan 0, 3. Jadi pada soal ini diketahuix1 = 3y1 = 0x2 = 0y2 = 3Cara menentukan persamaan garis gambar diatas sebagai berikut→ y – y1y2 – y1 = x – x1x2 – x1 → y – 03 – 0 = x – 30 – 3 → y3 = x – 3-3 → -3y = 3 x – 3 → -3y = 3x – 9 dibagi 3 → -y = x – 3 → y = -x + 3 atau 3 – xSoal ini jawabannya soal 7Persamaan garis lurus yang melalui titik 2, -6 dan sejajar garis y = 3x + 4 adalah…A. y = 3x – 6 B. y = 3x – 12 C. y = 3x + 6 D. y = 6x + 3Pembahasan / penyelesaian soalPada soal ini diketahuix1 = 2y1 = -6m = 3 diperoleh dari y = mx + c atau y = 3x + 4Jadi persamaan garis yang melalui titik 2, -6 sebagai berikuty – y1 = m x – x1y – -6 = 3 x – 2y + 6 = 3x – 6y = 3x – 6 – 6 = 3x – 12Soal ini jawabannya soal 8Persamaan garis yang melalui 2, 8 dan sejajar garis 2y = 4x – 2 adalah…A. y = 1/2 x + 4 B. y = – 1/2 x – 1 C. y + 2x = 4D. y – 2x = 4Pembahasan / penyelesaian soal2y = 4x – 2 diubah menjadi y = 2x – 1. Jadi m = 2. Maka persamaan garis yang sejajar 2y = 4x – 2 sebagai berikuty – y1 = m x – x1y – 8 = 2 x – 2y – 8 = 2x – 4y – 2x = -4 + 8y – 2x = 4Soal ini jawabannya soal 9 UN 2016 SMPPersamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah…Contoh soal persamaan garis lurus nomor 9A. 2y = x – 1B. 2y = – x – 1 C. 2y = x + 1 D. 2y = -x + 1Pembahasan / penyelesaian soalPada gambar diatas titik yang dilalui garis a adalah -1, 0 dan 0, 2 sehingga kita dapat gradien garis a sebagai berikut→ ma = y – yx – x → mb = 2 – 00 – -1 = 2Karena garis a dan b saling tegak lurus maka berlaku hubungan ma . mb = -1. Maka kita peroleh→ mb = -1ma → mb = – 12 Jadi persamaan garis b melalui titik -1, 0 sebagai berikuty – yb = mb x – xby – 0 = -1/2 x – -1y = -1/2x – 1/2 dikali 22y = -x – 1Soal ini jawabannya soal 10Persamaan garis lurus yang melalui titik 6, -3 dan tegak lurus garis 2x + 3y – 5 = 0 adalah…A. 3/2 x – 3 B. y = 3/2 x – 6 C. 3/2 x – 9 D. 3/2 x – 12Pembahasan / penyelesaian soalPersamaan garis diatas dapat diubah bentuknya menjadi seperti dibawah ini2x + 3y – 5 = 03y = -2x + 5y = -2/3x + 5/3Jadi kita ketahui m1 = -2/3. Karena tegak lurus maka berlaku m1 . m2 = -1 sehingga kita peroleh→ m2 = -1m1 → m2 = -1-2/3 = 3/2Jadi persamaan garis yang melalui titik 6, -3 sebagai berikuty – y2 = m x – x2y – -3 = 3/2 x – 6y + 3 = 3/2x – 9y = 3/2x – 9 – 3y = 3/2x – 12Soal ini jawabannya E. Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai gradien dan persamaan garis lurus yang dianjurkan untuk dipelajari oleh siswa tingkat SMP/Sederajat, terutama untuk menguatkan pemahaman konsep dan persiapan ulangan semester. Soal dapat diunduh dalam format PDF melalui tautan berikut Download PDF, 242 KB. Quote by Charles R. Swindoll Hidup adalah 10% hal yang terjadi pada kita dan 90% bagaimana kita meresponnya. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Gradien garis $PQ$ berdasarkan gambar adalah $\cdots \cdot$ A. $-2$ C. $\dfrac12$ B. $-\dfrac12$ D. $2$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Bergerak dari titik $P$ ke $Q$ Turun - sejauh 3 petak, lalu belok kanan + sejauh 6 petak. Gradien garis $PQ$ adalah $\boxed{m = \dfrac{-3}{6} = -\dfrac12}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 2 Perhatikan gambar garis $l$ berikut. Gradien garis $l$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-4$ C. $\dfrac14$ B. $-\dfrac14$ D. $4$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Bergerak dari titik yang ditandai dengan noktah hitam lihat gambar di atas Turun - sejauh 1 petak, lalu belok kanan + sejauh $4$ petak. Gradien garis $l$ adalah $\boxed{m_l = – \dfrac{1}{4}}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 3 Gradien garis $k$ pada gambar berikut adalah $\cdots \cdot$ A. $-\dfrac23$ C. $\dfrac32$ B. $-\dfrac32$ D. $\dfrac23$ Pembahasan Garis $k$ memotong sumbu-$X$ dan sumbu-$Y$ berturut-turut di $-3,0$ dan $0,-2$. Karena melalui kedua titik tersebut, maka gradien $k$ dapat ditentukan dengan menggunakan koordinat titiknya. Dari $-3, 0$ bergerak ke $0,-2$ Turun - sejauh $2$ satuan, lalu belok ke kanan + sejauh $3$ satuan. Dengan demikian, gradien garis $k$ adalah $\boxed{m_k = -\dfrac23}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 4 Gradien garis yang tegak lurus terhadap garis $a$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-\dfrac32$ C. $\dfrac23$ B. $-\dfrac23$ D. $\dfrac32$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Bergerak dari titik $A$ ke $B$ Turun - sejauh $4$ petak, lalu belok kanan + sejauh $6$ petak. Gradien garis $a$ adalah $m_a = – \dfrac{4}{6} = -\dfrac23$ Gradien garis yang tegak lurus dengan garis $a$ adalah $m = -\dfrac{1}{m_a} = \dfrac{3}{2}$ Secara verbal dinegatifkan lalu dibalik Jawaban D [collapse] Soal Nomor 5 Perhatikan gambar berikut. Gradien garis $c$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-\dfrac12$ C. $\dfrac12$ B. $-2$ D. $2$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Gradien garis $k$ dapat ditentukan karena melalui $2$ titik yang koordinatnya telah diketahui, tidak seperti garis $c$. Bergerak dari titik $0,4$ ke $-2,0$ Turun - sejauh $4$ petak, lalu belok kiri - sejauh $2$ petak. Gradien garis $k$ adalah $m_k = \dfrac{-4}{-2} = 2$ Karena garis $k$ dan $c$ sejajar, maka gradiennya sama. Dengan demikian, gradien garis $c$ adalah $\boxed{m_c = 2}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 6 Gradien garis dengan persamaan $5x-4y-20=0$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac54$ C. $-\dfrac45$ B. $\dfrac45$ D. $-\dfrac54$ Pembahasan Gradien garis $5x-4y-20 = 0$ adalah $m = -\dfrac{\text{Koef.}~x} {\text{Koef.}~y} = -\dfrac{5}{-4} = \dfrac54$ Jadi, gradien garis tersebut adalah $\boxed{m = \dfrac54}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 7 Di antara persamaan garis berikut 1 $2y=8x+20$ 2 $6y=12x+18$ 3 $3y=12x+15$ 4 $3y=-6x+15$ yang grafiknya saling sejajar adalah $\cdots \cdot$ A. $1$ dan $2$ C. $2$ dan $4$ B. $1$ dan $3$ D. $3$ dan $4$ Pembahasan Dalam bentuk $y = mx + c$, $m$ merupakan gradien garisnya. Untuk itu, ubah semua bentuk persamaan garisnya seperti itu. 1 $2y = 8x + 20$ Bagi kedua ruas dengan $2$ sehingga diperoleh $y = 4x + 10$. Gradien garisnya adalah $\color{red} {m_1 = 4}.$ 2 $6y = 12x + 18$ Bagi kedua ruas dengan $6$ sehingga diperoleh $y = 2x + 3$. Gradien garisnya adalah $m_2 = 2.$ 3 $3y = 12x + 15$ Bagi kedua ruas dengan $3$ sehingga diperoleh $y = 4x + 5$. Gradien garisnya adalah $\color{red}{m_3 = 4}.$ 4 $3y = -6x + 15$ Bagi kedua ruas dengan $3$ sehingga diperoleh $y = -2x + 5$. Gradien garisnya adalah $m_4 = -2.$ Dua garis saling sejajar apabila gradiennya sama. Dengan demikian, garis yang saling sejajar adalah $2y = 8x +20$ dan $3y = 12x + 15$ nomor 1 dan 3. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 8 Garis $h$ melalui titik $A-2,3$ dan $B2,p$ serta memiliki nilai kemiringan $\dfrac12$. Nilai $p$ adalah $\cdots \cdot$ A. $5$ C. $-1$ B. $1$ D. $-5$ Pembahasan Berdasarkan konsep gradien, kita peroleh $\begin{aligned} \dfrac{y_B -y_A} {x_B -x_A} & = m \\ \dfrac{p -3}{2 -2} & = \dfrac12 \\ \dfrac{p-3}{\cancel{4}} & = \dfrac{2}{\cancel{4}} \\ p -3 & = 2 \\ p & = 5 \end{aligned}$ Jadi, nilai $p$ adalah $\boxed{5}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 9 Persamaan garis yang melalui titik $R-3,-2$ dengan gradien $2$ adalah $\cdots \cdot$ A. $2x+y-4=0$ B. $2x-y+4=0$ C. $2x+y+4=0$ D. $x-y-4=0$ Pembahasan Persamaan garis yang melalui titik $x_1, y_1$ dan bergradien $m$ adalah $y -y_1 = mx -x_1$ Untuk itu, persamaan garis yang melalui titik $-3, -2$ dan bergradien $2$ adalah $\begin{aligned} y -2 & = 2x -3 \\ y + 2 & = 2x + 6 \\ y – 2x + 2 -6 & = 0 \\ y -2x -4 & = 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas} ~&\text{dengan}~-1 \\ 2x -y + 4 & = 0 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis yang melalui titik $R-3,-2$ dengan gradien $2$ adalah $\boxed{2x -y + 4 = 0}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 10 Persamaan garis yang melalui titik $2, -5$ dan sejajar dengan garis $4y-3x=-4$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3y+4x+2=0$ B. $3y-4x-2=0$ C. $4y-3x-26=0$ D. $4y-3x+26=0$ Pembahasan Cara 1 Gradien garis $4y -3x = -4$ adalah $m_1 = -\dfrac{\text{Koef.}~x} {\text{Koef.}~y} = -\dfrac{-3}{4} = \dfrac34$ Karena sejajar, maka gradien garis $m = m_1 = \dfrac34$. Persamaan garis yang melalui titik $2, -5$ dan bergradien $\dfrac34$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y -5 & = \dfrac34x -2 \\ 4y+5 & = 3x-2 \\ 4y + 20 & = 3x -6 \\ 4y- 3x + 26 & = 0 \end{aligned}$ Cara 2 Persamaan garis yang sejajar berbentuk $4y -3x = c$. Substitusikan $x = 2$ dan $y =-5$. $\begin{aligned} 4-5 -32 & = c \\ -20 -6 & = c \\ c & = -26 \end{aligned}$ Dengan demikian, persamaan garisnya berbentuk $4y-3x=-26$ atau ditulis menjadi $4y -3x + 26 = 0$ Jadi, persamaan garis yang melalui titik $2, -5$ dan sejajar dengan garis $4y-3x=-4$ adalah $\boxed{4y-3x+26=0}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 11 Persamaan garis yang melalui titik $4, -5$ dan sejajar dengan garis $y=-\dfrac23x+6$ adalah $\cdots \cdot$ A. $2y-3x=-23$ B. $2y+3x=-6$ C. $3y-2x=2$ D. $3y+2x=-7$ Pembahasan Cara 1 Gradien garis $y = -\dfrac23x + 6$ adalah $m_1 = = -\dfrac23$ Karena sejajar, maka gradien garis $m = m_1 = -\dfrac23$. Persamaan garis yang melalui titik $4, -5$ dan bergradien $-\dfrac23$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y – -5 & = -\dfrac23x -4 \\ 3y+5 & = -2x-4 \\ 3y + 15 & = -2x + 8 \\ 3y + 2x = & = -7 \end{aligned}$ Cara 2 Persamaan garis yang sejajar berbentuk $y = -\dfrac23x + c$. Substitusikan $x = 4$ dan $y =-5$. $\begin{aligned} -5 & = -\dfrac234 + c \\ -5 & = -\dfrac83 + c \\ c & = -5 + \dfrac83 = -\dfrac{7}{3} \end{aligned}$ Dengan demikian, persamaan garisnya berbentuk $y = -\dfrac23x -\dfrac73$. Kalikan kedua ruas dengan $3$ sehingga diperoleh $3y = -2x -7 \Leftrightarrow 3y + 2x = -7.$ Jadi, persamaan garis yang melalui titik $4, -5$ dan sejajar dengan garis $y=-\dfrac23x+6$ adalah $\boxed{3y+2x=-7}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 12 Persamaan garis yang melalui titik $2, -7$ dan tegak lurus garis $4x-3y+8=0$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3x-4y=34$ B. $3x+4y=-22$ C. $4x+3y=-13$ D. $4x-3y=21$ Pembahasan Cara 1 Gradien garis $4x-3y+8=0$ adalah $m_1 = -\dfrac{\text{Koef.}~x} {\text{Koef.}~y} = -\dfrac{4}{-3} = \dfrac43$ Karena tegak lurus, maka gradien garis $m = -\dfrac{1}{m_1} = -\dfrac34$. Persamaan garis yang melalui titik $2, -7$ dan bergradien $-\dfrac34$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y – -7 & = -\dfrac34x -2 \\ 4y+7 & = -3x-2 \\ 4y + 28 & = -3x + 6 \\ 3x + 4y & = -22 \end{aligned}$ Cara 2 Persamaan garis yang melalui titik $a, b$ dan tegak lurus garis $Ax + By = c$ adalah $Bx -Ay = Ba -Ab$. Dengan demikian, persamaan garis yang melalui titik $2, -7$ dan tegak lurus garis $4x – 3y + 8 = 0$ adalah $\begin{aligned} -3x -4y & = -32 -4-7 \\ -3x -4y & = 22 \\ 3x + 4y & = -22 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis yang melalui titik $2, -7$ dan tegak lurus garis $4x-3y+8=0$ adalah $\boxed{3x + 4y = -22}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 13 Persamaan garis yang melalui titik $-2, 1$ dan tegak lurus garis yang persamaannya $2y=-x+1$ adalah $\cdots \cdot$ A. $y=2x+5$ B. $y=-2x+5$ C. $y=2x-5$ D. $y=\dfrac12x-5$ Pembahasan Cara 1 Persamaan $2y = -x +1$ bila kedua ruasnya dibagi 2 menjadi $y = -\dfrac12x + \dfrac12$ Gradien garis $y = -\dfrac12x + \dfrac12$ adalah $m_1 = -\dfrac12$ Karena tegak lurus, maka gradien garis $m = -\dfrac{1}{m_1} = 2$. Persamaan garis yang melalui titik $-2, 1$ dan bergradien $2$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y -1 & = 2x -2 \\ y – 1 & = 2x + 4 \\ y & = 2x + 5 \end{aligned}$ Cara 2 Persamaan garis yang melalui titik $a, b$ dan tegak lurus garis $Ax + By = c$ adalah $Bx -Ay = Ba -Ab$. Dengan demikian, persamaan garis yang melalui titik $-2, 1$ dan tegak lurus garis $x + 2y= 1$ adalah $\begin{aligned} 2x -y & = 2-2 -11 \\ 2x -y & = -5 \\ -y & = -2x -5 \\ y & = 2x + 5 \end{aligned}$ Jadi, Persamaan garis yang melalui titik $-2, 1$ dan tegak lurus garis yang persamaannya $2y=-x+1$ adalah $\boxed{y = 2x + 5}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 14 Persamaan garis yang melalui titik $5, 3$ dan $-2, 1$ adalah $\cdots \cdot$ A. $7y=2x-11$ B. $7y=2x+11$ C. $2y=7x-11$ D. $2y=7x+11$ Pembahasan Cara 1 Normal Persamaan garis yang melalui titik $x_1, y_1$ dan $x_2, y_2$ adalah $\dfrac{y -y_1}{y_2-y_1} = \dfrac{x – x_1}{x_2-x_1}$ Persamaan garis yang melalui titik $5, 3$ dan $-2, 1$ adalah $\begin{aligned} \dfrac{y -1}{3 -1} & = \dfrac{x – -2}{5 -2} \\ \dfrac{y-1}{2} & = \dfrac{x+2}{7} \\ 7y-1 & = 2x+2 \\ 7y-7 & = 2x+4 \\ 7y & = 2x + 11 \end{aligned}$ Cara 2 Kece Perhatikan cara skematik berikut. [collapse] Baca Juga Cara Cepat Menentukan Persamaan Garis Lurus yang Melalui Dua Titik Soal Nomor 15 Sisi persegi $ABCD$ sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat. Titik $A1,-2$ dan $C5,1$ adalah titik sudut yang saling berhadapan. Persamaan garis yang melalui titik $B$ dan $D$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3x+4y+7=0$ B. $3x+4y-7=0$ C. $3x-4y+7=0$ D. $4x-3y+7=0$ Pembahasan Posisikan titik $A1,-2$ dan $C5,1$ dalam sistem koordinat Kartesius. Agar $ABCD$ membentuk sebuah persegi panjang, titik $B$ dan $D$ mesti berkoordinat $5, -2$ dan $1, 1$. Persamaan garis yang melalui kedua titik tersebut dinyatakan oleh $\begin{aligned} \dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} & =\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \dfrac{y-2}{1-2} & = \dfrac{x-5}{1-5} \\ \dfrac{y+2}{3} & = \dfrac{x-5}{-4} \\ -4y+2 & = 3x-5 \\ -4y-8 & = 3x-15 \\ 3x+4y-7 & = 0 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis yang melalui titik $B$ dan $D$ adalah $\boxed{3x+4y-7=0}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 16 Garis $k$ memotong sumbu-$Y$ di titik $a+3, a-7$. Jika garis $k$ juga melalui titik $8,6$, maka persamaan garis $k$ adalah $\cdots \cdot$ A. $2x+y=-10$ B. $2x-y=-10$ C. $2x-y=10$ D. $2x+y=10$ Pembahasan Karena $k$ memotong sumbu-$Y$, maka absis koordinatnya harus bernilai $0$, yaitu $a+3 = 0$ sehingga $a=-3$. Ini berarti, garis $k$ memotong sumbu tersebut di titik $0, -10$. Persamaan garis yang melalui dua titik, yaitu $0,-10$ dan $8,6$ dapat ditentukan dengan sejumlah cara. Cara 1 Manual Dengan menggunakan rumus $\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} = \dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}$, diperoleh $\begin{aligned} \dfrac{y -10} {6-10} & = \dfrac{x -0}{8-0} \\ \dfrac{y+10}{\cancelto{2}{16}} & = \dfrac{x} {\cancel{8}} \\ y+10 & = 2x \\ 2x -y & = 10 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis $k$ adalah $\boxed{2x-y=10}$ Cara 2 Kece Perhatikan penggunaan metode skematik berikut. Jawaban C [collapse] Soal Nomor 17 Perhatikan grafik berikut. Persamaan garis $g$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3x+2y-6=0$ B. $3x+2y+6=0$ C. $2x+3y-6=0$ D. $2x+3y+6=0$ Pembahasan Cara 1 Normal Garis $g$ melalui titik $0,3$ dan $2,0$. Persamaan garis yang melalui kedua titik tersebut adalah $\begin{aligned} \dfrac{y -y_1}{y_2 -y_1} & = \dfrac{x -x_1}{x_2 -x_1} \\ \dfrac{y -3}{0 -3} & = \dfrac{x -0}{2 -0} \\ \dfrac{y-3}{-3} & = \dfrac{x}{2} \\ 2y-3 & = -3x \\ 2y -6 & = -3x \\ 3x + 2y -6 & = 0 \end{aligned}$ Cara 2 Kilat Cara ini dipakai apabila titik potong garis terhadap kedua sumbu koordinat diketahui. Perhatikan cara skematik berikut. [collapse] Soal Nomor 18 Grafik garis dengan persamaan $y=\dfrac12x-2$ adalah $\cdots \cdot$ Pembahasan Diketahui persamaan garis lurus $y = \dfrac12x -2.$ Titik potong garis terhadap sumbu koordinat harus ditentukan dulu. Titik potong terhadap sumbu-$X$ terjadi saat $y = 0.$ $0 = \dfrac12x -2 \Leftrightarrow 2 = \dfrac12x \Leftrightarrow x = 4.$ Jadi, koordinat titik potongnya adalah $4, 0$. Titik potong terhadap sumbu-$Y$ terjadi saat $x = 0.$ $y = \dfrac120 -2 \Leftrightarrow y = -2$ Jadi, koordinat titik potongnya adalah $0, -2.$ Gambarkan kedua titik tersebut pada sistem koordinat Kartesius, lalu hubungkan kedua titik itu sehingga membentuk garis lurus. Jawaban C [collapse] Soal Nomor 19 Grafik garis dengan persamaan $4x-y-1=0$ adalah $\cdots \cdot$ Pembahasan Diketahui persamaan garis lurus $4x-y-1 = 0$. Berdasarkan alternatif jawaban yang diberikan, kita harus memeriksa nilai $y$ saat $x$ bernilai $-1, 0$, dan $1$. Untuk $x = -1$, kita peroleh $\begin{aligned} 4-1 -y -1 & = 0 \\ -5 -y & = 0 \\ y & = -5 \end{aligned}$ Garis melalui titik $-1, -5$. Untuk $x = 0$, kita peroleh $\begin{aligned} 40 -y -1 & = 0 \\ -y -1& = 0 \\ y & = -1 \end{aligned}$ Garis melalui titik $0, -1$. Untuk $x = 1$, kita peroleh $\begin{aligned} 41 -y -1 & = 0 \\ 3 -y & = 0 \\ y & = 3 \end{aligned}$ Garis melalui titik $1, 3$. Jawaban C [collapse] Soal Nomor 20 Grafik garis $k$ tegak lurus dengan garis $m$ dan memotong sumbu-$X$ di titik $2, 0$. Jika gradien garis $m$ adalah $2$, maka persamaan garis $k$ adalah $\cdots \cdot$ A. $y-2x=-4$ B. $x+2y=1$ C. $x+2y=2$ D. $2y-x=-2$ Pembahasan Gradien garis $m$ adalah $m_m = 2$. Karena tegak lurus, maka gradien garis $k$ adalah $m_k = -\dfrac{1}{m_m} = -\dfrac{1}{2}$ Persamaan garis yang melalui titik $2, 0$ dan bergradien $m = -\dfrac12$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y -0 & = -\dfrac12x -2 \\ 2y & = -x + 2 \\ x + 2y & = 2 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis $k$ adalah $\boxed{x + 2y = 2}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 21 Diketahui $P-3,-5$ dan $R-2,-8$. Persamaan garis yang melalui $-2,4$ dan tegak lurus garis $PR$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3y-x-14=0$ B. $3y-x+14=0$ C. $y-3x+10=0$ D. $y-3x-10=0$ Pembahasan Gradien garis $PR$ di mana $P-3,-5$ dan $R-2,-8$ adalah $m_{PR} = \dfrac{y_2 -y_1}{x_2 -x_1} = \dfrac{-8 -5}{-2 -3} = \dfrac{-3}{1} = -3$ Karena garis yang dimaksud tegak lurus dengan garis $PR$, maka gradien garisnya adalah $m = -\dfrac{1}{m_{PR}} = -\dfrac{1}{-3} = \dfrac13$ Persamaan garis yang melalui titik $-2, 4$ dan bergradien $\dfrac13$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y -4 & = \dfrac13x -2 \\ 3y -4 & = x + 2 \\ 3y -12 & = x + 2 \\ 3y -x -14 & = 0 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garisnya adalah $\boxed{3y-x-14=0}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 22 Perhatikan garis $g$ pada bidang koordinat Kartesius berikut. Garis $k$ tegak lurus garis $g$ dan saling berpotongan di titik $0, -20$. Koordinat titik potong garis $k$ dengan sumbu-$X$ adalah $\cdots \cdot$ A. $8, 0$ C. $16, 0$ B. $12, 0$ D. $20, 0$ Pembahasan Gradien garis $g$ adalah $m_g = \dfrac{-20}{25} = -\dfrac45.$ Karena tegak lurus, maka gradien garis $k$ adalah $m_k = -\dfrac{1}{m_g} = \dfrac54$ Persamaan garis yang melalui titik $0, -20$ dan bergradien $m = \dfrac54$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y -20 & = \dfrac54x -0 \\ 4y + 20 & = 5x \\ 4y + 80 & = 5x \end{aligned}$ Titik potong garis $k$ terhadap sumbu-$X$ terjadi saat $y = 0$, berarti kita tulis $40 + 80 = 5x \Leftrightarrow x = \dfrac{80}{5} = 16.$ Jadi, titik potong garis $k$ terhadap sumbu-$X$ adalah $\boxed{16, 0}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 23 Persamaan garis $b$ seperti tampak pada gambar adalah $\cdots \cdot$ A. $2y=x-1$ B. $2y=-x-1$ C. $2y=x+1$ D. $2y=-x+1$ Pembahasan Gradien garis $a$ adalah $m_a = \dfrac{-2}{-1} = 2.$ Karena tegak lurus, maka gradien garis $b$ adalah $m_b = -\dfrac{1}{m_a} = -\dfrac{1}{2} = -\dfrac12.$ Perhatikanlah bahwa garis $b$ melalui titik $-1, 0.$ Persamaan garis yang melalui titik $-1, 0$ dan bergradien $m = -\dfrac12$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y – 0 & = -\dfrac12x -1 \\ 2y & = -x – 1 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis $b$ adalah $\boxed{2y = -x-1}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 24 Diketahui titik $A4, 10$, $B-1, p$, dan $C2, 2$ terletak pada satu garis lurus. Nilai $p$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-10$ C. $5$ B. $-5$ D. $10$ Pembahasan Diketahui $A4, 10$, $B-1, p$, dan $C2, 2$. Karena ketiga titik itu terletak pada satu garis lurus, maka gradien $AB$ haruslah sama dengan gradien $BC$. Kita tuliskan $\begin{aligned} m_{AB} & = m_{BC} \\ \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} & = \dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B} \\ \dfrac{p-10}{-1-4} & = \dfrac{2-p}{2-1} \\ \dfrac{p-10}{-5} & = \dfrac{2-p}{3} \\ 3p-10 & = -52-p \\ 3p-30 & = -10+5p \\ 3p-5p & = -10+30 \\ -2p & = 20 \\ p & = -10 \end{aligned}$ Jadi, nilai $\boxed{p=-10}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 25 Empat di antara lima titik $2, 4$, $4, 7$, $7, 10$, $10, 16$, dan $16, 25$ membentuk sebuah garis lurus. Manakah yang tidak termasuk? A. $2, 4$ D. $10, 16$ B. $4, 7$ E. $16, 25$ C. $7, 10$ Pembahasan Agar titik-titik terletak pada satu garis lurus, maka gradien garis yang terbentuk harus sama. Perhatikan bahwa pada titik $2, 4$, $4, 7$, $10, 16$, dan $16, 25$ membentuk garis lurus dengan gradien masing-masing $\dfrac{7-4}{4-2} = \dfrac{16-7}{10-4} = \dfrac{25-16}{16-10} = \dfrac32.$ Perhatikan juga bahwa, $\dfrac{10-7}{7-4} = 1 \neq \dfrac32.$ Jadi, titik yang tidak segaris adalah $\boxed{7, 10}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 26 Jika $a_1x+b_1y = c_1$ dan $a_2x + b_2y = c_2$ merupakan persamaan garis lurus yang saling berpotongan tegak lurus, maka akan dipenuhi $\cdots \cdot$ A. $a_1b_1-a_2b_2=0$ B. $a_1a_2-b_1b_2=0$ C. $a_1b_1+a_2b_2=0$ D. $a_1a_2+b_1b_2=0$ E. $a_1b_2+a_2b_1=0$ Pembahasan Persamaan garis $ax + by = c$ memiliki gradien $m = -\dfrac{a}{b}$. Oleh karena persamaan $a_1x+b_1y = c_1$ dan $a_2x + b_2y = c_2$ tegak lurus, maka berlaku $\begin{aligned} m_1 & = -\dfrac{1}{m_2} \\ -\dfrac{a_1}{b} & = -\dfrac{1}{-\dfrac{a_2}{b_2}} \\ \dfrac{a_1}{b_1} & = -\dfrac{b_2}{a_2} \\ a_1a_2 & = -b_1b_2 \\ a_1a_2+b_1+b_2 & = 0 \end{aligned}$ Jadi, diperoleh $\boxed{a_1a_2+b_1+b_2 = 0}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 27 Jika garis yang menghubungkan titik $-1, 1$ dan $\left1,\dfrac12\right$ tegak lurus terhadap garis yang menghubungkan titik $\left1,\dfrac12\right$ dan $7, t$, maka $t = \cdots \cdot$ A. $2$ C. $12\dfrac14$ E. $24\dfrac12$ B. $-\dfrac43$ D. $24$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} x_1, y_1 & = -1, 1 \\ x_2, y_2 & = \left1,\dfrac12\right \\ x_3, y_3 & = \left1,\dfrac12\right \\ x_4, y_4 & = 7, t \end{aligned}$ Gradien garis yang melalui titik $-1, 1$ dan $\left1,\dfrac12\right$ adalah $\begin{aligned} m_1 & = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ & = \dfrac{\dfrac12-1}{1-1} = \dfrac{-\dfrac12}{2} = -\dfrac14 \end{aligned}$ Gradien garis yang melalui titik $\left1,\dfrac12\right$ dan $7, t$ adalah $\begin{aligned} m_2 & = \dfrac{y_4-y_3}{x_4-x_3} \\ & = \dfrac{t-\dfrac12}{7-1} = \dfrac{t-\dfrac12}{6} \color{red}{\times \dfrac22} = \dfrac{2t-1}{12} \end{aligned}$ Karena kedua garis yang menghubungkan titik-titik tersebut saling tegak lurus, maka berlaku hubungan gradien $m_1 = -\dfrac{1}{m_2}$. Untuk itu, kita peroleh $\begin{aligned} -\dfrac14 & = -\dfrac{1}{\dfrac{2t-1}{12}} \\ \dfrac14 & = \dfrac{12}{2t-1} \\ 2t-1 & = 48 \\ 2t & = 49 \\ t & = \dfrac{49}{2} = 24\dfrac12 \end{aligned}$ Jadi, nilai $\boxed{t = 24\dfrac12}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 28 Perhatikan grafik tarif taksi berikut. Jika Rudi naik taksi sejauh $19~\text{km}$, berapa harga yang harus ia bayar? A. C. B. D. Pembahasan Berdasarkan grafik di atas, gradien garisnya adalah $m = \dfrac{22 -14}{4 -2} = \dfrac{8}{2} = 4$ Misalkan harga yang harus dibayar untuk jarak tempuh 19 km adalah $x$ ribu rupiah, maka $\begin{aligned} m = \dfrac{x -14}{19 -2} & = 4 \\ \dfrac{x-14}{17} & = 4 \\ x- 14 & = 68 \\ x & = 82 \end{aligned}$ Jadi, harga yang harus dibayar Rudi sebesar Jawaban B [collapse] Soal Nomor 29 Banyak tenaga kerja laki-laki berusia lebih dari $20$ tahun yang bekerja di suatu kota bertambah secara linear. Jika digambarkan, grafik pertambahan tenaga kerja laki-laki dapat direpresentasikan oleh garis lurus berikut. Pada tahun $1980$, sekitar $600$ laki-laki berusia di atas 20 tahun yang bekerja. Pada tahun $2000$, jumlah ini meningkat menjadi $800$. Berapa banyak tenaga kerja laki-laki di kota tersebut pada tahun $2015$? A. $ orang C. $ orang B. $ orang D. $950$ orang Pembahasan Gradien garis lurus pada grafik di atas dapat dihitung dengan cara berikut. $m = \dfrac{800-600}{2000-1980} = \dfrac{200}{20} = 10$ Misalkan ada sebanyak $x$ orang pada tahun $2015$ sehingga dengan menggunakan konsep gradien, diperoleh $m = \dfrac{x -800}{2015-2000}$ Karena garis lurus yang ditinjau sama, maka gradiennya juga pasti sama. $\begin{aligned} 10 & = \dfrac{x -800}{15} \\ 150 & = x -800 \\ x & = 950 \end{aligned}$ Jadi, banyak tenaga kerja laki-laki di kota tersebut pada tahun $2015$ adalah $\boxed{950~\text{orang}}$ Jawaban D [collapse] Baca Juga Membuat Garis Bergerak Mengikuti Dua Titik pada Aplikasi Geogebra Soal Nomor 30 Pada suatu hari, dua pemuda mengunjungi sebuah kafe. Setelah memesan minuman, mereka masing-masing diberikan kertas yang bertuliskan username dan password untuk mengaktifkan koneksi WiFi kafe tersebut. Salah satu dari mereka menemukan kertas lain seperti itu tercecer di lantai. Ia pun kemudian menjajarkan kertas tersebut seperti berikut. Setelah diperhatikan dengan seksama, mereka menduga bahwa ada hubungan username dengan password di sampingnya. Perhatikan bahwa dua karakter pertama pada username selalu bertuliskan “on“, diikuti dengan bilangan puluhan ganjil. Berdasarkan pola hubungan itu, password yang sesuai untuk username on75 adalah $\cdots \cdot$ A. $682$ C. $702$ B. $692$ D. $712$ Pembahasan Dugaan kita adalah bahwa penambahan bilangan di username memengaruhi penambahan bilangan di bagian password secara linear membentuk garis lurus. Katakanlah terdapat titik $15, 552$ dan $19, 562$. Gradien garis yang ditarik dari dua titik ini adalah $\dfrac{562-552}{19-15} = \dfrac{10}{4} = \dfrac52.$ Sekarang, katakanlah ada titik $43, 622$ dan $19, 562$. Gradien garis yang melalui titik ini adalah $\dfrac{622-562}{43-19} = \dfrac{60}{24} = \dfrac52.$ Karena gradiennya sama, maka pasangan bilangan pada username dan password bergerak secara linear. Dugaan sebelumnya memang benar. Setiap penambahan $2$ pada bilangan di username, bilangan di password bertambah $5$. Password untuk on75 dapat dicari sebagai berikut. Kita simbolkan sebagai $x$ dan kita menggunakan $43, 622$ sebagai titik bantu. $\begin{aligned} \dfrac25 & = \dfrac{x-622}{75-43} \\ \dfrac52 & = \dfrac{x-622}{32} \\ \dfrac{80}{\cancel{32}} & = \dfrac{x-622}{\cancel{32}} \\ 80 & = x-622 \\ x & = 702 \end{aligned}$ Jadi, password untuk username on75 adalah $\boxed{702}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 31 Misalkan $m$ menyatakan bilangan bulat positif serta garis $13x+11y = 700$ dan $y = mx-1$ berpotongan di titik yang koordinatnya bilangan bulat. Banyak kemungkinan nilai $m$ adalah $\cdots \cdot$ A. $0$ C. $2$ E. $4$ B. $1$ D. $3$ Pembahasan Substitusi $\color{red}{y} = mx-1$ pada persamaan $13x+11\color{red}{y} = 700$. $\begin{aligned} 13x+11mx-1 & = 700 \\ 13x+11mx-11 & = 700 \\ 13+11mx & = 711 \\ x & = \dfrac{711}{13+11m} \end{aligned}$ Karena $x$ bulat, maka $13+11m$ harus merupakan faktor dari $711$. Perhatikan bahwa $711$ memiliki faktor $\{1, 9, 79, 711\}.$ $\begin{array}{cc} \hline \text{Nilai}~13+11m & \text{Nilai}~m \\ \hline 1 & -\dfrac{12}{11} \\ 9 & -\dfrac{4}{11} \\ 79 & 6 \\ 711 & \dfrac{698}{11} \\ \hline \end{array}$ Dari tabel di atas, tampak bahwa hanya ada $1$ nilai $m$ yang mungkin, yaitu $m = 6$, berakibat $x = 9$ dan $y = 53$. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 32 Garis $y = ax + b$ berpotongan secara tegak lurus dengan garis $y = bx + a$ di titik $1, ab$. Nilai $a + b = \cdots \cdot$ A. $-\sqrt5$ C. $\dfrac32$ B. $-1$ D. $2$ Pembahasan Tuliskan dulu gradien masing-masing garis. $$\begin{aligned} y = ax + b & \Rightarrow m_1 = a \\ y = bx+a & \Rightarrow m_2 = b \end{aligned}$$Karena kedua garis berpotongan tegak lurus, maka berlaku $$\begin{aligned} m_1 & = -\dfrac{1}{m_2} \\ a & = -\dfrac{1}{b} \\ ab & = -1 \end{aligned}$$Karena berpotongannya di $1, ab$, maka substitusi $x = 1$ dan $y = ab$ pada salah satu persamaan garis, misalnya $y = ax + b$, menghasilkan $$\begin{aligned} ab & = a1 + b \\ ab & = a + b \\ -1 & = a + b \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{a+b=-1}$ Jawaban B [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Titik Tengah Ruas Garis dan Jarak Dua Titik Bagian Uraian Soal Nomor 1 Periksa apakah titik berikut berada di atas, di bawah, atau terletak tepat pada garis yang diberikan. Titik $2, -1$ dan titik $3, 9$ terhadap garis $2x + y = 4$. Titik $3, -5$ dan titik $1, 6$ terhadap garis $y = 2x-4$. Titik $0, 0$ dan titik $2, 2$ terhadap garis $-9x+2y=18$. Pembahasan Sebelum mengerjakan, kita perlu memperhatikan definisi pengertian mengenai posisi titik terhadap garis berikut. Suatu titik dikatakan berada di posisi bawah suatu garis apabila nilai ordinat titik itu lebih kecil dari nilai ordinat titik yang dilalui garis tersebut pada absis yang sama. Suatu titik dikatakan berada di posisi atas suatu garis apabila nilai ordinat titik itu lebih besar dari nilai ordinat titik yang dilalui garis tersebut pada absis yang sama. Suatu titik dikatakan berada tepat pada suatu garis apabila nilai ordinat titik itu sama dengan dari nilai ordinat titik yang dilalui garis tersebut pada absis yang sama. Jawaban a Titik $2, -1$ memiliki nilai ordinat $y = -1$. Substitusi $x = 2$ pada persamaan $2x + y = 4$ untuk memperoleh $\begin{aligned} 2\color{red}{2} + y & = 4 \\ 4 + y & = 4 \\ y & = 0 \end{aligned}$ Karena nilai ordinat titik lebih kecil $-1 -2$, maka disimpulkan bahwa titik $3, 9$ di atas garis $2x + y = 4$. Jawaban b Titik $3, -5$ memiliki nilai ordinat $y = -5$. Substitusi $x = 3$ pada persamaan $y=2x-4$ untuk memperoleh $y = 2\color{red}{3}-4 = 6-4=2$. Karena nilai ordinat titik lebih kecil $-5 -2$, maka disimpulkan bahwa titik $1, 6$ di atas garis $y = 2x-4$. Jawaban c Titik $0, 0$ memiliki nilai ordinat $y = 0$. Substitusi $x = 0$ pada persamaan $-9x+2y=18$ untuk memperoleh $\begin{aligned} -9\color{red}{0} + 2y & = 18 \\ 0 + 2y & = 18 \\ y & = 9 \end{aligned}$ Karena nilai ordinat titik lebih kecil $0 < 9$, maka disimpulkan bahwa titik $0, 0$ di bawah garis $-9x+2y=18$. Titik $2, 2$ memiliki nilai ordinat $y = 2$. Substitusi $x = 2$ pada persamaan $-9x+2y=18$ untuk memperoleh $\begin{aligned} -9\color{red}{2} + 2y & = 18 \\ -18 + 2y & = 18 \\ 2y & = 36 \\ y & = 18 \end{aligned}$ Karena nilai ordinat titik lebih kecil $2 < 18$, maka disimpulkan bahwa titik $2,2$ di bawah garis $-9x+2y=18$. [collapse] Soal Nomor 2 Absis titik potong garis $g$ dengan sumbu-$X$ dan ordinat titik potong garis $g$ dengan sumbu-$Y$ merupakan bilangan genap positif yang kurang dari $10$. Jika garis $g$ melalui titik $3, 4$, tentukan persamaan garis $g$ tersebut. Pembahasan Misalkan titik potong garis $g$ terhadap kedua sumbu koordinat adalah $p, 0$ dan $0, q$ dengan $p, q$ bilangan genap positif yang kurang dari $10$. Garis $g$ diketahui melalui titik $3, 4$. Berdasarkan prinsip kesamaan gradien dalam satu garis lurus, kita peroleh $\begin{aligned} \dfrac{q-4}{0-3} & = \dfrac{0-4}{p-3} \\ \dfrac{q-4}{-3} & = \dfrac{-4}{p-3} \\ q-4p-3 & = 12 \end{aligned}$ Selanjutnya kita harus mencari kombinasi dua faktor yang mungkin untuk menghasilkan $12$. Faktor dari $12$ adalah $1, 2, 3, 4, 6$, dan $12$. Periksa setiap kemungkinan yang ada menggunakan tabel berikut dengan mengingat syarat $a, b$ harus genap dan nilainya kurang dari $10$. $$\begin{array}{ccccc} \hline q-4 & p-3 & q & p & \text{Keterangan} \\ \hline 1 & 12 & 5 & 9 & \text{Tidak Memenuhi} \\ 2 & 6 & 6 & 9 & \text{Tidak Memenuhi} \\ 3 & 4 & 7 & 7 & \text{Tidak Memenuhi} \\ 4 & 3 & 8 & 6 & \text{Memenuhi} \\ 6 & 2 & 10 & 5 & \text{Tidak Memenuhi} \\ 12 & 1 & 16 & 4 & \text{Tidak Memenuhi} \\ \hline \end{array}$$Jadi, nilai $p = 6$ dan $q = 8$. Persamaan garis lurus yang melalui titik $6, 0$ dan $0, 8$ adalah $8x + 6y = 8 \cdot 6$, dan disederhanakan menjadi $4x + 3y = 24$. Grafiknya dapat dilihat pada gambar berikut. Jadi, persamaan garis $g$ adalah $\boxed{4x+3y=24}$ [collapse] Soal Nomor 3 Absis titik potong garis $\ell$ dengan sumbu-$X$ dan ordinat titik potong $\ell$ dengan sumbu-$Y$ adalah bilangan-bilangan prima. Jika $\ell$ juga melalui titik $3, 4$, tentukan persamaan garis $\ell$. Pembahasan Perhatikan sketsa grafik garis $\ell$ berikut. Dimisalkan bahwa garis $\ell$ memotong sumbu-$X$ di $a, 0$ dan sumbu-$Y$ di $0, b$. Persamaan garis $\ell$ adalah $bx + ay = ab.$ Karena garis $\ell$ melalui titik $3, 4$, maka dapat disubstitusi $x = 3$ dan $y = 4$ sehingga diperoleh $\begin{aligned} 3b+4a & = ab \\ ab-4a & = 3b \\ ab-4 & = 3b \\ a & = \dfrac{3b}{b-4} \\ a & = \dfrac{3b-4+12}{b-4} \\ a & = 3+\dfrac{12}{b-4} \end{aligned}$ Karena $a$ prima dan berarti juga bulat, maka $b-4$ harus merupakan faktor $12$, yaitu $1, 2, 3, 4, 6, 12$. Analisis nilai $a$ dan $b$ yang keduanya harus prima dalam tabel berikut. $\begin{array}{ccc} \hline \text{Nilai}~b-4 & \text{Nilai}~b & \text{Nilai}~a \\ \hline 1 & 5 & \color{red}{15} \\ \hline 2 & \color{red}{6} & 5 \\ \hline 3 & 7 & 7 \\ \hline 4 & \color{red}{8} & \color{red}{6} \\ \hline 6 & \color{red}{10} & 5 \\ \hline 12 & \color{red}{16} & \color{red}{4} \\ \hline \end{array}$ Keterangan Bilangan yang diwarnai merah artinya bukan prima. Jadi, dipilih nilai $b = 7$, berakibat $a = 7$ keduanya prima sehingga persamaan garis $\ell$ adalah $7x + 7y = 49$, disederhanakan menjadi $\boxed{x + y = 7}$ [collapse] Soal Nomor 4 Sebuah garis melalui titik $A1, 1$ dan $B100, 1000$. Berapa banyak titik-titik lain dengan elemen koordinat berupa bilangan bulat yang dilalui garis itu dan berada di antara kedua titik tersebut? Pembahasan Garis melalui $A1,1$ dan $B100, 1000$. Gradien garis tersebut adalah $$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{1000-1}{100-1} = \dfrac{999}{99} = \dfrac{111}{11}$$Persamaan garisnya adalah $$\begin{aligned} y-y_1 & = mx-x_1 \\ y-1 & = \dfrac{111}{11}x-1 \end{aligned}$$Agar diperoleh bilangan bulat $y$, maka $11$ harus membagi habis $x-1$. Untuk suatu bilangan bulat $t$, maka kita tulis $$\begin{aligned} x-1 & = 11t \\ x & = 11t+1 \\ \Rightarrow y-1 & = \dfrac{111}{11}11t \\ y & = 111t+1 \end{aligned}$$Karena koordinat yang diiinginkan berada di antara titik $A1,1$ dan $B100,1000$, maka nyatakan dalam bentuk pertidaksamaan berikut. $$\begin{array}{rcccl} 1 & ~ & x & < & 100 \\ 1 & < & 11t+1 & < & 100 \\ 0 & < & 11t & < & 99 \\ 0 & < & t & < & 9 \\ 1 & \le & t & \le & 8 \end{array}$$dan $$\begin{array}{rcccl} 1 & ~ & y & < & \\ 1 & < & 111t+1 & < & \\ 0 & < & 111t & < & 999 \\ 0 & < & t & < & 9 \\ 1 & \le & t & \le & 8 \end{array}$$Untuk kedua kasus tersebut, ditemukan $8$ nilai bilangan bulat $t$, yaitu $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$. Jadi, akan ada $\boxed{8}$ titik dengan koordinat bulat di antara $A$ dan $B$ yang dilalui garis itu. [collapse] Berikut ini merupakan soal dan pembahasan materi persamaan lingkaran yang merupakan salah satu hasil irisan kerucut pada kajian geometri analitik. Semoga bermanfaat dan dapat dijadikan referensi. Semua gambar grafik yang terdapat pada pos ini merupakan hasil screenshot. Aplikasi yang digunakan untuk menggambar grafiknya adalah GeoGebra Classic 5. Soal juga dapat diunduh dengan mengklik tautan berikut Download PDF, 164 KB. Today Quote Siapkan masa kini. Tidak perlu menyesali apa yang telah terjadi di masa lalu dan mengkhawatirkan apa yang belum terjadi di masa depan. Baca Juga Soal dan Pembahasan- Irisan Kerucut Elips Baca Juga Soal dan Pembahasan- Irisan Kerucut Hiperbola Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Lingkaran yang berpusat di titik $p$ menyinggung sumbu $Y$ seperti yang terlihat pada gambar berikut. Persamaan lingkaran tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $x-10^2+y+6^2=10$ B. $x-10^2+y+6^2=36$ C. $x+10^2+y-6^2=36$ D. $x-10^2+y+6^2=100$ E. $x+10^2+y-6^2=100$ Pembahasan Dari gambar, tampak bahwa pusat lingkarannya berada di koordinat $10, -6$. Karena lingkaran tepat menyinggung sumbu $Y$, maka panjang jari-jarinya adalah $10$. Persamaan lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$ dirumuskan oleh $x-a^2+y-b^2 = r^2$. Untuk $a, b = 10, -6$ dan $r = 10$, didapat $\boxed{x-10^2+y+6^2 = 100}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 2 Diketahui $Ph, k$ dan $r$ berturut-turut menyatakan pusat dan jari-jari lingkaran $x^2+y^2+8x-2y-8=0.$ Nilai dari $r+k-h = \cdots \cdot$ A. $10$ C. $15$ E. $19$ B. $12$ D. $17$ Pembahasan Ubah persamaan lingkaran itu ke dalam bentuk umum kanonik, yakni $$\begin{aligned} x^2+y^2+8x-2y-8&=0 \\ x+4^2- 16 + y-1^2-1-8 & = 0 \\ x+4^2 + y-1^2-25 & = 0 \\ x+4^2 + y-1^2 &=25 \end{aligned}$$Perhatikan bahwa lingkaran yang berpusat di $x_p, y_p$ dan berjari-jari $r$ memiliki persamaan $x-x_p^2 + y-y_p^2 = r^2.$ Untuk itu, pusat lingkaran ini adalah $-4, 1$ dan jari-jarinya $r = \sqrt{25} = 5.$ Dengan kata lain, $h =-4, k = 1$, dan $r = 5$ sehingga $\boxed{r + k-h = 5 + 1-4 = 10}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 3 Lingkaran $$L \equiv x+1^2+y-3^2=9$$ memotong garis $y = 3$. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $x = 2$ dan $x =-4$ B. $x = 2$ dan $x =-2$ C. $x =-2$ dan $x = 4$ D. $x =-2$ dan $x =-4$ E. $x = 8$ dan $x =-10$ Pembahasan Titik potong lingkaran dengan garis itu dapat ditentukan dengan mensubstitusikan $y = 3$ ke persamaan lingkaran. $\begin{aligned} x+1^2+y-3^2 &=9 \\ x+1^2+\color{red}{3}-3^2 & = 9 \\ x+1^2 & = 9 \\ x+1 & = \pm 3 \\ x = 2~&\text{atau}~x =-4 \end{aligned}$ Jadi, titik potongnya di $2,3$ dan $-4, 3.$ Persamaan garis singgung lingkaran $x-x_p^2+y-y_p^2 = r^2$ dan melalui $a, b$ adalah $x-x_pa-x_p + y-y_pb-y_p.$ Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $2,3$ adalah $\begin{aligned} x+12+1 + y-33-3 & = 9 \\ 3x+1 & = 9 \\ x +1& = 3 \\ x &= 2 \end{aligned}$ Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $-4,3$ adalah $$\begin{aligned} x+1-4+1 + y-33-3 & = 9 \\-3x+1 & = 9 \\ x +1& =-3 \\ x &=-4 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah $x = 2$ dan $x =-4,$ seperti yang tampak pada gambar grafik berikut. Jawaban A [collapse] Baca Juga Cara Menghitung Luas Daun Beraturan dalam Matematika Soal Nomor 4 Lingkaran $$L \equiv x-3^2+y-2^2=4$$ memotong garis $y = 2$. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $x =-1$ dan $x =-5$ B. $x =-1$ dan $x = 5$ C. $x = 1$ dan $x =-5$ D. $x = 1$ dan $x = 5$ E. $x = 4$ dan $x = 6$ Pembahasan Titik potong lingkaran dengan garis itu dapat ditentukan dengan mensubstitusikan $y = 2$ ke persamaan lingkaran. $\begin{aligned} x-3^2+y-2^2 &=4 \\ x-3^2+\color{red}{2}-2^2 & = 4 \\ x-3^2 & = 4 \\ x-3 & = \pm 2 \\ x = 5~&\text{atau}~x = 1 \end{aligned}$ Jadi, titik potongnya di $1,2$ dan $5,2$. Persamaan garis singgung lingkaran $x-x_p^2+y-y_p^2 = r^2$ dan melalui $a, b$ adalah $$x-x_pa-x_p + y-y_pb-y_p = r^2.$$Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $1,2$ adalah $\begin{aligned} x-31-3 + y-22-2 & = 4 \\-2x-3 & = 4 \\ x-3& =-2 \\ x &= 1 \end{aligned}$ Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $5,2$ adalah $\begin{aligned} x-35-3 + y-22-2 & =4 \\ 2x-3 & =4 \\ x-3& = 2 \\ x &= 5 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah $x = 1$ dan $x = 5,$ seperti yang tampak pada gambar berikut. Jawaban D [collapse] Baca Soal dan Pembahasan- Persamaan Kuadrat Soal Nomor 5 Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+12x-6y+13=0$ di titik $-2,-1$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x-y+1=0$ B. $x+2y+4=0$ C. $2x-y+3=0$ D. $-2x-y-5=0$ E. $3x-2y+4=0$ Pembahasan Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ di titik $x_1, y_1$ dinyatakan oleh $$\boxed{x_1x+y_1y + \dfrac{1}{2}Ax+x_1+\dfrac{1}{2}By+y_1 + C = 0}$$Diketahui $A = 12$, $B =-6$, $C = 13$, $x_1 =-2$, dan $y_1 =-1$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah $$\begin{aligned}-2x-y + \dfrac{1}{2}12x-2+\dfrac{1}{2}-6y-1 + 13 & = 0 \\-2x-y + 6x-12-3y + 3 +13 & = 0 \\ 4x-4y+4& = 0 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan 4} & \\ x-y+1 & = 0 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{x-y+1 = 0}$ seperti yang tampak pada gambar berikut. Jawaban A [collapse] Soal Nomor 6 Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-6x+4y+11=0$ di titik $2,-1$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x-y-12=0$ B. $x-y-4=0$ C. $x-y-3=0$ D. $x+y-3=0$ E. $x+y+3=0$ Pembahasan Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ di titik $x_1, y_1$ dinyatakan oleh $$\boxed{x_1x+y_1y + \dfrac{1}{2}Ax+x_1+\dfrac{1}{2}By+y_1 + C = 0}$$Diketahui $A =-6, B = 4$, $C = 11$, $x_1 = 2,$ dan $y_1 =-1$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah $$\begin{aligned} 2x- y + \dfrac{1}{2}-6x+2+\dfrac{1}{2}4y-1 + 11 & = 0 \\ 2x-y-3x-6 + 2y-2 +11 & = 0 \\-x + y+ 3 & = 0 \\ \text{Kali kedua ruas dengan-1} & \\ x-y-3 & = 0 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{x-y-3= 0}$ seperti yang tampak pada gambar berikut. Jawaban C [collapse] Soal Nomor 7 Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-6x+4y-12=0$ di titik $7,1$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3x-4y-41=0$ B. $4x+3y-55=0$ C. $4x-5y-53=0$ D. $4x+3y-31=0$ E. $4x-3y-40=0$ Pembahasan Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ di titik $x_1, y_1$ dinyatakan oleh $$\boxed{x_1x+y_1y + \dfrac{1}{2}Ax+x_1+\dfrac{1}{2}By+y_1 + C = 0}$$Diketahui $A =-6, B = 4$, $C =-12,$ $x_1 = 7$, dan $y_1 = 1$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah $$\begin{aligned} 7x + y + \dfrac{1}{2}-6x+7+\dfrac{1}{2}4y+1-12 & = 0 \\ 7x + y-3x-21 + 2y + 2-12& = 0 \\ 4x+3y-31& = 0\end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{4x+3y-31=0}$ seperti yang tampak pada gambar berikut. Jawaban D [collapse] Soal Nomor 8 Persamaan lingkaran yang pusatnya di titik $1,2$ dan menyinggung garis $y=x$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3x^2+3y^2-6x-15y+16=0$ B. $2x^2+2y^2-4x-8y+9=0$ C. $2x^2+2y^2-4x-6y+7=0$ D. $x^2+y^2-2x+4y+2=0$ E. $x^2+y^2-4x-2y+1=0$ Pembahasan Diketahui titik pusat lingkarannya adalah $x_p, y_p = 1,2.$ Garis singgungnya adalah $y=x$ atau dapat ditulis $-x+y = 0$. Ini berarti, $$\begin{aligned} \text{Koefi}\text{sien}~x & = a =-1 \\ \text{Koefi}\text{sien}~y & = b = 1 \\ \text{Konstan}\text{ta} & = c = 0 \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran dapat ditentukan dengan $\boxed{r = \dfrac{ax_p + by_p + c} {\sqrt{a^2+b^2}}}$ yaitu $\begin{aligned} r & = \dfrac{-11 + 12 + 0}{\sqrt{-1^2+1^2}} \\ & = \dfrac{-1 + 2}{\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}} {\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \end{aligned}$ Persamaan lingkaran yang dimaksud adalah $$\begin{aligned} x-x_p^2+y-y_p^2 & = r^2 \\ x-1^2+y-2^2 & = \left\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\right^2 \\ x^2-2x+1+y^2-4y+4 & = \dfrac{1}{2} \\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}&~2 \\ 2x^2+2y^2-4x-8y+9&=0 \end{aligned}$$Jadi, persamaan lingkaran yang pusatnya di titik $1,2$ dan menyinggung garis $y=x$ adalah $\boxed{2x^2+2y^2-4x-8y+9=0}$ seperti yang tampak pada gambar berikut. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 9 Persamaan garis yang sejajar dengan $x+2y-5=0$ yang membagi lingkaran $x^2+y^2-8x+6y-20=0$ menjadi dua bagian yang sama adalah $\cdots \cdot$ A. $x+2y+2=0$ B. $x+2y+6=0$ C. $x+2y-2=0$ D. $x+2y=0$ E. $x+2y-8=0$ Pembahasan Gradien garis $x+2y-5=0$ adalah $m_1 =-\dfrac{\text{Koefi}\text{sien}~x}{\text{Koefi}\text{sien}~y} =-\dfrac{1}{2}.$ Karena sejajar, maka garis yang membagi dua lingkaran itu juga memiliki gradien yang sama, yaitu $m = m_1 =-\dfrac{1}{2}.$ Ubah persamaan lingkarannya menjadi bentuk umum kanonik. $$\begin{aligned} x^2+y^2-8x+6y-20 & = 0 \\ x^2- 8x + y^2 + 6y-20 & = 0 \\ x- 4^2-16 + y+3^2-9-20 & = 0 \\ x-4^2 + y+3^2 = 45 \end{aligned}$$Persamaan lingkaran di atas menunjukkan bahwa titik pusat lingkaran di $4,-3.$ Garis yang membagi dua lingkaran itu pasti melalui titik pusat lingkaran. Persamaan garis yang melalui titik $x_1, y_1 = 4,-3$ dan bergradien $m =-\dfrac{1}{2}$ adalah $\begin{aligned} y-y_1 &= mx-x_1 \\ y-3 & =-\dfrac{1}{2}x- 4 \\ 2y + 6 & =-x + 4 \\ x + 2y + 2 & = 0 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis yang dimaksud adalah $\boxed{x+2y+2=0}$ Perhatikan gambar grafiknya untuk lebih jelasnya. Jawaban A [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Garis Singgung Lingkaran Tingkat SMP Soal Nomor 10 Titik $a, b$ disebut titik letis jika $a$ dan $b$ keduanya adalah bilangan bulat. Banyaknya titik letis pada lingkaran yang berpusat di $O$ dan berjari-jari $5$ adalah $\cdots \cdot$ A. $4$ D. $12$ B. $6$ E. tidak bisa dipastikan C. $8$ Pembahasan Persamaan lingkaran yang berpusat di titik asal $0,0$ dan berjari-jari $r = 5$ adalah $x^2 + y^2 = 25.$ Bila dipilih $x = 0$, maka $y = \pm 5$ dan sebaliknya. Bila dipilih $x = \pm 3$, maka $y = \pm 4$ dan sebaliknya. Untuk itu, pasangan $x, y \in \mathbb{Z}$ yang memenuhi persamaan lingkaran di atas adalah $\begin{aligned} & \{0, 5, 0,-5, 5, 0, -5, 0, 3, 4, \\ & 3,-4, -3, 4, -3,-4, 4, 3, \\ & 4,-3, -4, 3, -4,-3\} \end{aligned}$ Jadi, banyaknya titik letis pada lingkaran yang berpusat di $O$ dan berjari-jari $5$ ada $\boxed{12}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 11 Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2$ $-2x+6y-10=0$ yang sejajar dengan garis $2x-y+4=0$ adalah $\cdots \cdot$ A. $2x-y=14$ B. $2x-y=10$ C. $2x-y=5$ D. $2x-y=-5$ E. $2x-y=-6$ Pembahasan Ubah persamaan lingkarannya ke dalam bentuk umum. $$\begin{aligned} x^2+y^2-2x+6y-10 & = 0 \\ x-1^2-1 + y + 3^2-9-10 & = 0 \\ x-1^2 + y+3^2 & = 20 \end{aligned}$$Lingkaran tersebut berpusat di $1,-3$ dan berjari-jari $\sqrt{20} = 2\sqrt5.$ Gradien garis $2x-y+4=0$ adalah $m_1 =-\dfrac{\text{Koefi}\text{sien}~x} {\text{Koefi}\text{sien}~y} =-\dfrac{2}{-1} = 2.$ Karena sejajar, maka garis singgung lingkaran juga memiliki gradien $m=2.$ Persamaan garis singgung bergradien $2$ pada lingkaran dengan pusat di $1,-3$ dan jari-jarinya $2\sqrt5$ dinyatakan oleh $\begin{aligned} y-y_p & = mx-x_p \pm r\sqrt{1+m^2} \\ y-3 & = 2x-1 \pm 2\sqrt{5}\sqrt{1+2^2} \\ y + 3 & = 2x-2 \pm 10 \\ 2x- y & = 5 \pm 10 \end{aligned}$ Dengan demikian, kita peroleh dua persamaan garis singgung lingkaran, yaitu $\begin{cases} 2x-y = 15 \\ 2x-y =-5 \end{cases}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 12 Diketahui 2 lingkaran dengan persamaan $x^2+y^2+6x-8y+21=0$ dan $x^2+y^2+10x-8y+25=0$. Hubungan antara kedua lingkaran ini adalah $\cdots \cdot$ A. berpotongan di satu titik B. tidak berpotongan C. bersinggungan luar D. bersinggungan dalam E. sepusat Pembahasan Lingkaran $x^2+y^2+6x-8y+21=0$ memiliki bentuk umum $$\begin{aligned} x^2+6x + y^2-8y + 21 & = 0 \\ x+3^2-9 + y-4^2-16 + 21 & = 0 \\ x+3^2 + y-4^2 = 4 \end{aligned}$$Bentuk terakhir menunjukkan lingkaran ini berpusat di $-3, 4$ dan berjari-jari $r = \sqrt{4} = 2.$ Lingkaran $x^2+y^2+10x-8y+25=0$ memiliki bentuk umum $$\begin{aligned} x^2+10x + y^2-8y + 25 & = 0 \\ x+5^2-25 + y-4^2-16 + 25 & = 0 \\ x+5^2 + y-4^2 & = 16 \end{aligned}$$Bentuk terakhir menunjukkan lingkaran ini berpusat di $-5, 4$ dan berjari-jari $r = \sqrt{16} = 4.$ Jarak kedua pusat lingkaran adalah $s =-3-5 = 2.$ Selisih kedua jari-jari lingkaran adalah $\triangle r = 4-2 = 2.$ Karena sama, maka dapat disimpulkan bahwa kedua lingkaran itu bersinggungan dalam. Secara geometris, dapat dibuat sketsa grafiknya sebagai berikut. Jawaban D [collapse] Soal Nomor 13 Diketahui titik $A-2,1$ dan $B4,-3$. Jika $Px,y$ terletak pada bidang koordinat sedemikian sehingga $PA^2 + PB^2 = AB^2$, maka $P$ merupakan titik-titik yang terletak pada busur lingkaran yang memotong sumbu $X$ pada $\cdots \cdot$ $x = 2\sqrt{13}+1$ dan $x = 2\sqrt{3}-1$ $x = 2\sqrt{13}+1$ dan $x =-2\sqrt{3}+1$ $x = 2\sqrt{13}-1$ dan $x =-2\sqrt{3}-1$ $x = 2\sqrt{13}+1$ dan $x =-2\sqrt{3}-1$ $x =-2\sqrt{13}+1$ dan $x =-2\sqrt{3}-1$ Pembahasan Karena berlaku persamaan Pythagoras $PA^2+PB^2=AB^2$, maka dapat diasumsikan bahwa $PAB$ merupakan segitiga siku-siku yang sudut siku-sikunya di $P$. Diketahui $Px, y, A-2,1, B4,-3.$ Dengan menggunakan rumus jarak dalam sistem koordinat Kartesius, diperoleh persamaan $$\begin{aligned} \left\sqrt{x+2^2+y-1^2}\right^2 + & \left\sqrt{x-4^2+y+3^2}\right^2 \\ & = \left\sqrt{-2-4^2+1+3^2}\right^2 \end{aligned}$$Sederhanakan dengan menghapus tanda akar dan menguraikan bentuk kuadratnya. $\begin{aligned} & x^2+4x+4+ y^2-2y+1+ \\ & x^2-8x+16+ y^2+6y+9 = 52 \end{aligned}$ Sederhanakan bentuk aljabarnya. $\begin{aligned} 2x^2 + 2y^2-4x + 4y-22 & = 0 \\ \text{Bagi 2 pada kedua ruasnya} & \\ x^2+y^2-2x+2y-11&=0 \end{aligned}$ Bentuk terakhir adalah persamaan lingkaran yang mewakili kedudukan titik $P$ pada bidang koordinat. Lingkaran ini memotong sumbu $X$ saat $y = 0$, sehingga $\begin{aligned} x^2+0^2-2x+20-11&=0 \\ x^2-2x-11 & = 0 \end{aligned}$ Gunakan rumus ABC untuk menentukan penyelesaian persamaan kuadrat di atas. $\begin{aligned} x_{1,2} & = \dfrac{2 \pm \sqrt{-2^2-41-11}} {21} \\ & = \dfrac{2 \pm \sqrt{48}} {2} \\ & = \dfrac{2 \pm 4\sqrt{3}} {2} \\ & = \pm 2\sqrt{3} + 1 \end{aligned}$ Jadi, lingkarannya akan memotong sumbu $X$ di $x = 2\sqrt{3}+1$ dan $x =-2\sqrt{3}+1$. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 14 Persamaan garis polar lingkaran $x^2+y^2 = 36$ dari titik $9,-6$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3x+2y=12$ B. $3x-2y=12$ C. $3x+2y=-18$ D. $3x-y=12$ E. $2x-3y=18$ Pembahasan Persamaan garis polar lingkaran $x^2+y^2=r^2$ dari titik $x_1,y_1$ dirumuskan oleh $x_1x + y_1y = r^2$. Untuk itu, persamaan garis polar lingkaran $x^2+y^2=36$ dari titik $9,-6$ adalah $\begin{aligned} 9x-6y & = 36 \\ \text{Bagi kedua ruas}~&~\text{dengan 3} \\ 3x-2y & = 12 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis polarnya adalah $\boxed{3x-2y=12}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 15 Lingkaran yang berpusat di $2,3$ dan menyinggung garis $y-7=0$, juga menyinggung garis dengan persamaan $\cdots \cdot$ A. $x+6 = 0$ dan $y + 4 = 0$ B. $x-6 = 0$ dan $y + 1 = 0$ C. $x+2 = 0$ dan $y-6 = 0$ D. $x-2 = 0$ dan $y-6 = 0$ E. $x-2 = 0$ dan $y + 1 = 0$ Pembahasan Perhatikan sketsa berikut. Jika titik pusat lingkaran di $2, 3$, maka jarak titik ini ke titik singgung $2, 7$ adalah jari-jari lingkaran, yaitu $r = 7-3 = 4$. Ini berarti, persamaan lingkarannya adalah $x-2^2 + y-3^2 = 4^2 = 16.$ Tampak bahwa garis horizontal dan vertikal yang menyinggung lingkaran ini adalah $\begin{aligned} y & =-1 \equiv y + 1 = 0 \\ x & = 6 \equiv x-6 = 0 \\ x &=-2 \equiv x + 2 = 0 \\ y & = 7 \equiv y-7 = 0 \end{aligned}$ Dari pilihan yang diberikan, jawaban yang tepat adalah B. [collapse] Soal Nomor 16 Jika kuasa titik $Mm, 4$ sama dengan nol terhadap lingkaran $x^2+y^2=25$, maka nilai $m = \cdots \cdot$ A. $\sqrt{3}$ D. $\pm 2$ B. $3$ E. $\pm 3$ C. $2$ Pembahasan Persamaan lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ ekuivalen dengan $x^2 + y^2-25 = 0$. Nilai kuasa titik $x_1, y_1$ pada lingkaran tersebut adalah $x_1^2 + y_1^2-25.$ Agar nilai tersebut nol, kita tuliskan $\begin{aligned} x_1^2 + y_1^2-25 & = 0 \\ m^2 + 4^2-25 & = 0 \\ m^2-9 & = 0 \\ m^2 & = 9 \\ m & = \pm 3 \end{aligned}$ Jadi, nilai $\boxed{m = \pm 3}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 17 Misalkan titik $A$ dan $B$ berada pada lingkaran $x^2 + y^2-6x-2y + k = 0$ sehingga garis singgung lingkaran di titik $A$ dan $B$ berpotongan di $C8,1$. Jika luas segi empat yang melalui titik $A,B,C$, dan pusat lingkaran adalah $12$, maka $k = \cdots \cdot$ A. $-1$ C. $1$ E. $3$ B. $0$ D. $2$ Pembahasan Ubah persamaan lingkaran itu ke bentuk umumnya. $$\begin{aligned} x^2+y^2-6x-2y+k&=0 \\ x- 3^2- 9 + y-1^2-1+k&=0 \\ x-3^2 + y-1^2 & =10- k \end{aligned}$$Pusat lingkaran di $P3,1$ dan $r = \sqrt{10-k}.$ Perhatikan bahwa garis yang ditarik dari titik $P3,1$ ke titik $C8,1$ membentuk garis horizontal mendatar. Ini berarti, garis $AB$ berupa garis vertikal sehingga segi empat $PABC$ berupa layang-layang. Perhatikan sketsa berikut untuk lebih jelasnya. Ingat bahwa jari-jari dan garis singgung selalu membentuk sudut siku-siku sehingga diperoleh segitiga $PAC$, siku-siku di $A.$ Diketahui $\begin{aligned} r & = PA = \sqrt{10-k} \\ PC & = 8-3 = 5 \end{aligned}$ Panjang $AC$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras. $\begin{aligned} AC & = \sqrt{PC^2-PA^2} \\ & = \sqrt{5^2-10-k} \\ & = \sqrt{k+15} \end{aligned}$ Dengan demikian, luas layang-layangnya dirumuskan oleh $\begin{aligned} 2 \cdot L_{\triangle PAC} & = 12 \\ 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot PA \cdot AC & = 12 \\ \sqrt{10-k} \cdot \sqrt{k+15}&=12 \\ \text{Kuadratkan kedua ruas} & \\ 10-k k+15 & = 144 \\-k^2-5k + 150-144 & = 0 \\ k^2+5k-6&=0 \\ k+6k-1 & = 0 \end{aligned}$ Diperoleh $k =-6$ atau $k = 1.$ Berdasarkan pilihan yang tersedia, jawaban yang tepat adalah C. [collapse] Soal Nomor 18 Lingkaran $x^2 + y^2 -16x-12y = 0$ memotong sumbu $Y$ di titik $P$. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran di titik $P$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3y = 4x + 36$ B. $3y =-4x + 36$ C. $3y = 4x + 12$ D. $4y = 3x + 12$ E. $4y =-3x + 12$ Pembahasan Karena lingkaran memotong sumbu $Y$, maka nilai $x = 0$. Substitusikan ke persamaan lingkaran. $\begin{aligned} x^2+y^2-16x-12y&=0 \\ 0^2-y^2-160-12y & = 0 \\-y^2-12y & = 0 \\ yy+12 & = 0 \end{aligned}$ Diperoleh $y = 0$ atau $y = 12$. Ini berarti, ada dua kemungkinan koordinat titik $P$, yaitu di $0,0$ atau $0,12$. Diketahui $A =-16, B =-12$, $C = 0$, $x_1 = y_1 = 0.$ Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $P0,0$ adalah $$\begin{aligned} x_1x + y_1y + \dfrac{1}{2}Ax+x_1+\dfrac{1}{2}By+y_1+C & = 0 \\ 0x + 0y + \dfrac{1}{2}-16x + 0+\dfrac{1}{2}-12y+0 + 0 & = 0 \\ -8x-6y & = 0 \\ 4x + 3y & = 0 \end{aligned}$$ Diketahui $A =-16, B =-12$, $C = 0,$ $x_1 = 0, y_1 = 12.$ Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $P0,12$ adalah $$\begin{aligned} x_1x + y_1y + \dfrac{1}{2}Ax+x_1+\dfrac{1}{2}By+y_1+C & = 0 \\ 0x + 12y + \dfrac{1}{2}-16x + 0+\dfrac{1}{2}-12y+12 + 0 & = 0 \\ 12y-8x-6y-72 & = 0 \\ 6y & = 8x + 72 \\ 3y & = 4x + 36 \end{aligned}$$Berdasarkan pilihan yang tersedia, jawaban yang tepat adalah A. Perhatikan gambar grafiknya sebagai bentuk representasi geometrisnya. [collapse] Soal Nomor 19 Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis $2x+3y-5=0$ serta menyinggung sumbu $X$ negatif dan sumbu $Y$ positif adalah $\cdots \cdot$ A. $x^2+y^2+5x-5y+25=0$ B. $x^2+y^2-5x+5y+25=0$ C. $x^2+y^2+10x-10y+25=0$ D. $x^2+y^2-10x+10y+25=0$ E. $x^2+y^2+5x+5y+10=0$ Pembahasan Karena lingkaran menyinggung sumbu $X$ negatif dan sumbu $Y$ positif, maka dapat dipastikan bahwa lingkaran itu berada di kuadran II seperti sketsa gambar berikut. Jarak dari pusat lingkaran ke sisi lingkaran adalah jari-jari $r$, sehingga koordinat titik pusatnya adalah $-r, r.$ Karena pusat terletak pada garis $2x+3y-5=0,$ maka substitusi $x = -r$ dan $y = r$, diperoleh $\begin{aligned} 2-r+3r-5 & = 0 \\ r & = 5 \end{aligned}$ Pusat lingkaran di $-5, 5$. Persamaan lingkarannya adalah $$\begin{aligned} x-a^2+y-b^2&=r^2 \\ x+5^2+y-5^2 & = 5^2 \\ x^2+10x+25+y^2-10y+\cancel{25} & = \cancel{25} \\ x^2+y^2+10x-10y+25&=0 \end{aligned}$$Jawaban C [collapse] Soal Nomor 20 Persamaan lingkaran $x+1^2+y^2=9$ menyinggung garis $ax+by=2a$. Nilai dari $\dfrac{a^2}{a^2+b^2}$ $= \cdots \cdot$ A. $0$ C. $2$ E. $4$ B. $1$ D. $3$ Pembahasan Persamaan lingkaran $x+1^2+y^2=9$ berpusat di $x_1, y_1 = -1, 0$ dan berjari-jari $r = \sqrt9 = 3$. Lingkaran ini menyinggung garis $ax+by=2a$ atau ekuivalen dengan $ax+by-2a=0$. Dengan demikian, diperoleh $\begin{aligned} r & = 3 \\ \left\dfrac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right & = 3 \\ \left\dfrac{a-1+b0+-2a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right & = 3 \\ \left\dfrac{-3a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right & = 3 \\ \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} & = 1 \\ \text{Kuadratkan kedua}~&\text{ruas} \\ \dfrac{a^2}{a^2+b^2} & = 1^2=1 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{a^2}{a^2+b^2} = 1}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 21 Titik pusat lingkaran $L$ berada di kuadran I dan berada di sepanjang garis $y = 2x$. Jika $L$ menyinggung sumbu $Y$ di titik $0,6$, persamaan lingkaran $L$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x^2+y^2-3x-6y=0$ B. $x^2+y^2+6x-12y-108=0$ C. $x^2+y^2+12x+6y-72=0$ D. $x^2+y^2-12x-6y=0$ E. $x^2+y^2-6x-12y+36=0$ Pembahasan Karena lingkaran $L$ menyinggung sumbu $Y$ di titik $0,6$, maka dapat dipastikan bahwa ordinat pusat lingkaran $L$ adalah $6$, dengan absis yang dapat ditentukan oleh persamaan $y=2x$, yaitu $6 = 2x \Leftrightarrow x = 3.$ Jadi, pusat lingkaran $L$ di $3,6.$ Panjang jari-jari lingkarannya adalah jarak dari titik $3,26$ ke $0,6$, yaitu $r = 3.$ Dengan demikian, persamaan lingkarannya adalah $\begin{aligned} x-3^2 + y-6^2 &= 3^2 \\ x^2-6x + 9 + y^2-12y + 36 & = 9 \\ x^2 + y^2-6x-12y + 36 & = 0 \end{aligned}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 22 Diketahui lingkaran $L \equiv x^2 + y^2 -2x-4y-10 = 0$. Garis yang membelah lingkaran menjadi dua bagian yang sama luasnya dan melalui titik $a, b$ memiliki persamaan $\cdots \cdot$ $b+2x+1+ay+2a-b = 0$ $b-2x+1+ay+2a+b = 0$ $b+2x+1-ay+2a-b = 0$ $b+2x+1-ay+2a+b = 0$ $b-2x+1-ay+2a-b = 0$ Pembahasan Suatu garis yang membelah lingkaran menjadi dua bagian yang sama luasnya pasti melalui titik pusat lingkaran. Oleh karena itu, kita cari titik pusat lingkaran yang diberikan $$\begin{aligned} x^2 + y^2-2x-4y -10 & = 0 \\ x-1^2-1+y-2^2-4-10 & = 0 \\ x-1^2+y-2^2 & = 15 \end{aligned}$$Diperoleh titik pusat di $1, 2.$ Persamaan garis yang melalui $1, 2$ dan $a, b$ adalah $$\begin{aligned} \dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \dfrac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \dfrac{y-2}{b-2} & = \dfrac{x-1}{a-1} \\ y-2a-1 & = b-2x-1 \\ ay-y-2a+2 & = bx-b-2x+2 \\ b-2x+1-ay+2a-b & = 0 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis itu dinyatakan oleh $\boxed{b-2x+1-ay+2a-b = 0}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 23 Salah satu persamaan garis singgung dari titik $0, 4$ pada lingkaran $x^2+y^2 = 4$ adalah $\cdots \cdot$ A. $y = \sqrt3x + 2$ B. $y = \sqrt3x + 4$ C. $y = 3x + 4$ D. $y = \sqrt5x + 4$ E. $y = 5x + 4$ Pembahasan Substitusi $x = 0$ dan $y = 4$ pada ruas kiri persamaan lingkaran itu sehingga diperoleh $$0^2 + 4^2 = 16 > 4.$$Ini artinya titik $0, 4$ berada di luar lingkaran. Misalkan persamaan garis singgung yang dimaksud berbentuk $y = mx + c.$ Substitusi $x = 0$ dan $y = 4$ pada persamaan garis sehingga kita peroleh $$\begin{aligned} 4 & = m0 + c \\ c & = 4. \end{aligned}$$Jadi, persamaan garisnya adalah $y = mx + 4.$ Berikutnya, substitusikan pada persamaan lingkaran. $$\begin{aligned} x^2+y^2 & = 4 \\ x^2 + mx + 4^2 & = 4 \\ x^2 + m^2x^2 + 8mx + 16 & = 4 \\ \underbrace{1+m^2}_{a}x^2 + \underbrace{8m}_{b}x + \underbrace{12}_{c} & = 0. \end{aligned}$$Karena garis menyinggung lingkaran, maka persamaan kuadrat di atas harus berdiskriminan $0.$ $$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ 8m^2-41+m^212 & = 0 \\ 64m^2-48-48m^2 & = 0 \\ 16m^2 & = 48 \\ m^2 & = 3 \\ m & = \pm \sqrt3 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung itu adalah $y = \sqrt3x + 4$ atau $y = -\sqrt3x + 4.$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 24 Diberikan lingkaran dengan persamaan $x^2+y^2-4x-14y+44=0.$ Jarak terdekat titik $14, 2$ ke lingkaran tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $3$ C. $7$ E. $13$ B. $5$ D. $10$ Pembahasan Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} x^2+y^2-4x-14y + 44 & = 0 \\ x^2-4x+y^2-14y + 44 & = 0 \\ x-2^2-4 + y-7^2-49 + 44 & = 0 \\ x-2^2 + y-7^2 & = 9. \end{aligned}$$Jadi, lingkaran itu berpusat di $2, 7$ dan berjari-jari $\sqrt9 = 3.$Titik $14, 2$ berada di luar lingkaran tersebut karena substitusi pada ruas kiri menghasilkan nilai lebih dari $9.$ Untuk mencari jarak terdekat titik ini ke lingkaran, cari dulu jarak titik tersebut ke pusat lingkaran, kemudian dikurangi dengan panjang jari-jarinya. $$\begin{aligned} 14, 2 \to 2, 7 \Rightarrow d & = \sqrt{14-2^2 + 2-7^2} \\ & = \sqrt{144 + 25} \\ & = 13 \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran sama dengan $3$ sehingga jarak terdekat titik $14, 2$ ke lingkaran tersebut adalah $\boxed{13-3=10}$ Jawaban D [collapse] Bagian Uraian Soal Nomor 1 Selidiki apakah persamaan berikut merupakan persamaan lingkaran atau bukan. a. $x-4^2 + y-1^2-36 = 0$ b. $x^2 + y^2-4x- 8y + 25 = 0$ c. $x^2 + 3x + 4y-10 = 0$ Pembahasan Persamaan lingkaran haruslah berbentuk $x-a^2+y-b^2 = r^2$ dengan $a, b$ sebagai koordinat titik pusat dan $r$ jari-jari lingkaran serta $r > 0$. Jawaban a Persamaan $x-4^2 + y-1^2-36 = 0$ ekuivalen dengan $x- 4^2 + y-1^2 = 36$ Persamaan ini menunjukkan bentuk persamaan lingkaran yang pusatnya di $4, 1$ dan berjari-jari $r = \sqrt{36} = 6.$ Jawaban b Ubah bentuk persamaan ini menjadi seperti berikut. $$\begin{aligned} x^2 + y^2-4x-8y + 25 & = 0 \\ x^2-4x+y^2-8y + 25 & = 0 \\ x-2^2-4 + y-4^2-16 + 25 & = 0 \\ x-2^2 + y-4^2 & =-5 \end{aligned}$$Persamaan di atas serupa dengan bentuk persamaan lingkaran, namun ditemukan bahwa $r$ bernilai negatif, sehingga persamaan $x^2 + y^2-4x-8y + 25 = 0$ bukan persamaan lingkaran. Jawaban c Persamaan $x^2 + 3x + 4y-10 = 0$ tidak memiliki suku $y^2$ sehingga bukan termasuk persamaan lingkaran. [collapse] Soal Nomor 2 Tentukan persamaan lingkaran dengan ketentuan berikut. Berdiameter $10$ dan berpusat di titik $-5,5$; Berjari-jari $7$ dan berpusat di titik $1,0$; Berjari-jari $\sqrt{3}$ dan berpusat di titik asal. Pembahasan Persamaan lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$ adalah $\boxed{x-a^2+y-b^2 = r^2}$ Jawaban a Diketahui $d = 10, r = 5$, $r^2 = 25, a =-5, b = 5.$ Ingat bahwa panjang jari-jari adalah setengah dari panjang diameter. Persamaan lingkarannya adalah $\boxed{x+5^2+y-5^2 = 25}$ atau bila diuraikan, maka akan menjadi $\boxed{x^2+y^2+10x-10y+25=0}$ Jawaban b Diketahui $r = 7, r^2 = 49$, $a = 1, b = 0.$ Persamaan lingkarannya adalah $\boxed{x-1^2+y^2 = 49}$ atau bila diuraikan, maka akan menjadi $\boxed{x^2+y^2-2y-48 =0}$ Jawaban c Diketahui $r = \sqrt{3}, r^2 = 3, a = b = 0.$ Catatan Titik asal disebut juga titik pusat koordinat, yaitu $0, 0.$ Persamaan lingkarannya adalah $\boxed{x^2+y^2 = 3}$ [collapse] Soal Nomor 3 Tentukan koordinat titik pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan berikut. a. $x+5^2+y-3^2 = 16$ b. $x^2+y^2+10x-8y-8=0$ c. $3x^2+3y^2+12x-9y = 0$ Pembahasan Persamaan lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$ adalah $\boxed{x-a^2+y-b^2 = r^2}$ Jawaban a Dengan membandingkan persamaan lingkaran tersebut dengan bentuk umum persamaan lingkaran, diperoleh $a =-5, b=3$, dan $r^2 = 16$, atau $r = 4$. Jadi, kooordinat titik pusatnya di $-5,3$ dan jari-jari lingkarannya $4$ satuan panjang. Jawaban b Ubah persamaan lingkaran tersebut ke dalam bentuk umum kanonik. $$\begin{aligned} x^2+y^2+10x-8y-8 & = 0 \\ x^2+10x + y^2-8y + 8 & = 0 \\ x+5^2- 25 + y-4^2-16 + 8 & = 0 \\ x+5^2 + y-4^2 = 33 \end{aligned}$$Diperoleh $a =-5, b = 4, r^2 = 33, r = \sqrt{33}.$ Jadi, koordinat titik pusatnya di $-5,4$ dan jari-jari lingkarannya $\sqrt{33}$ satuan panjang. Jawaban c Ubah persamaan lingkaran tersebut ke dalam bentuk umum kanonik. $\begin{aligned} 3x^2+3y^2+12x- 9y & = 0 \\ \text{Bagi 3 pada kedua ruas} & \\ x^2+y^2+4x-3y & = 0 \\ x^2+4x + y^2-3y & = 0 \\ x + 2^2-4 + \lefty-\dfrac{3}{2}\right^2-\dfrac{9}{4} & = 0 \\ x + 2^2 + \lefty-\dfrac{3}{2}\right^2 & = \dfrac{25}{4} \end{aligned}$ Diperoleh $a =-2, b = \dfrac{3}{2}, r^2 = \dfrac{25}{4}, r = \dfrac{5}{2}$. Jadi, koordinat titik pusatnya di $\left-2,\dfrac{3}{2}\right$ dan jari-jari lingkarannya $\dfrac{5}{2}$ satuan panjang. [collapse] Soal Nomor 4 Diketahui lingkaran dengan persamaan $x-2^2 + y+5^2 = 40.$ Selidikilah letak titik-titik berikut terhadap lingkaran itu. a. Titik $A2, 5$ b. Titik $B-4,-3$ c. Titik $C0,-4$ d. Titik $D8,-7$ e. Titik $E-1,2$ f. Titik $F6,-2$ Pembahasan Ada $3$ kemungkinan kedudukan titik terhadap suatu lingkaran, yaitu terletak di luar lingkaran, pada lingkaran, dan di dalam lingkaran. Pada persamaan lingkaran $x-x_p^2 + y-y_p^2 = r^2$, apabila substitusi nilai $x, y$ mengakibatkan ruas kiri lebih besar dari ruas kanan, maka itu berarti titik dengan koordinat tersebut berada di luar lingkaran. Jika lebih kecil, berarti titiknya di dalam lingkaran. Jika sama, berarti titiknya pada lingkaran. Jawaban a Titik $A2,5$. Substitusikan $x = 2$ dan $y = 5$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas. $$\begin{aligned}x-2^2 + y+5^2 & = 2-2^2 + 5+5^2 \\ & = 0^2 + 10^2 \\ & = 100 > 40 \end{aligned}$$Ini berarti, titik $A$ berada di luar lingkaran itu. Jawaban b Titik $B-4,-3$. Substitusikan $x =-4$ dan $y =-3$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas. $\begin{aligned} & x-2^2 + y+5^2 \\ & = -4-2^2 + -3+5^2 \\ & = -6^2 + 2^2 \\ & = 40 \end{aligned}$ Ini berarti, titik $B$ berada pada lingkaran itu. Jawaban c Titik $C0,-4$. Substitusikan $x = 0$ dan $y =-4$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas. $\begin{aligned} & x-2^2 + y+5^2 \\ & = 0-2^2 + -4+5^2 \\ & = -2^2 + 1^2 \\ & = 5 40 \end{aligned}$$Ini berarti, titik $E$ berada di luar lingkaran itu. Jawaban f Titik $F6,-2$. Substitusikan $x = 6$ dan $y =-2$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas. $$\begin{aligned}x-2^2 + y+5^2 & = 6-2^2 + -2+5^2 \\ & = 4^2 + 3^2 \\ & = 25 0 \\ 36- 64k^2 & > 0 \\-64k^2 & >-36 \\ k^2 & \dfrac{36}{64} = \dfrac{9}{16} \\ k & \dfrac{3}{4} \end{aligned}$ Jadi, nilai $k$ adalah $\left\{k~~k \dfrac{3}{4}, k \in \mathbb{R}\right\}$ [collapse] Soal Nomor 9 Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik $A 2,-4, B5,-1$, dan $C2,2$. Pembahasan Dalam bentuk umum, persamaan lingkaran berbentuk $x-a^2 + y-b^2 = r^2$, dengan $a, b$ titik pusat lingkaran. Dengan substitusi nilai $x, y$ pada persamaan itu, diperoleh $$\begin{aligned} A2,-4 2-a^2 + -4-b^2 & = r^2 && \cdots 1 \\ B5,-1 5-a^2 + -1-b^2 & = r^2 && \cdots 2 \\ C2,2 2-a^2 + 2-b^2 & = r^2 && \cdots 3 \end{aligned}$$Kurangi persamaan 1 dengan persamaan 3 untuk memperoleh $$\begin{aligned} -4-b^2-2-b^2 & = 0 \\ -4-b-2+b-4-b+2-b & = 0 \\-6-2b-2 & = 0 \\-2b & = 2 \\ b & =-1 \end{aligned}$$Substitusikan $b =-1$ pada persamaan $1$ dan $2$, kemudian kurangkan. $$\begin{aligned} 2-a^2 + -4+1^2 & = r^2 \\ 5-a^2 + -1+1^2 & = r^2 \\ \rule{5 cm}{1 pt}~&- \\ 2-a^2 + 9-5-a^2 & = 0 \\ 4- 4a + a^2 + 9-25-10a + a^2 & = 0 \\ 6a & = 12 \\ a & = 2 \end{aligned}$$Terakhir, substitusikan $a = 2$ dan $b =-1$ pada salah satu dari tiga persamaan di atas. Sebagai contoh, misalkan pada persamaan 1. $\begin{aligned} 2-a^2 + -4-b^2 & = r^2 \\ 2-2^2 + -4+1^2 & = r^2 \\ r^2 & = 9 \end{aligned}$ Jadi, persamaan lingkaran yang melalui ketiga titik itu adalah $\boxed{x-2^2 + y+1^2 = 9}$ Gambar grafiknya sebagai berikut. [collapse] Soal Nomor 10 Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dari gradien yang diketahui berikut. a. $x^2+y^2=4; m = 2$ b. $x^2+y^2-4x-2=0; m =-1$ c. $x^2+y^2-3x+2y-3=0; m = 1$ d. $x^2+y^2-3x-5=0; m =-3$ e. $x+2^2+y-1^2=8; m=1$ f. $x-1^2+y-5^2=10; m = 2$ g. $x^2+y+2^2=5; m =-3$ Pembahasan Jawaban a Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2 = 4$. Lingkaran ini memiliki pusat di $0, 0$ dan berjari-jari $r = \sqrt4 = 2$. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh $\boxed{y-b = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2}}$ Untuk $a = b = 0$, $m = 2$, dan $r = 2$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu $\begin{aligned} y-0 & = 2x-0 \pm 2\sqrt{1+2^2} \\ y & = 2x \pm 2\sqrt5 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y = 2x + 2\sqrt5$ atau $y = 2x-2\sqrt5$. Jawaban b Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2-4x-2=0$. Persamaan di atas dapat diubah menjadi bentuk umum persamaan lingkaran dengan menggunakan metode kuadrat sempurna, yaitu $\begin{aligned} x-2^2-4 + y^2-2 & = 0 \\ x-2^2 + y^2 & = 6 \end{aligned}$ Lingkaran ini memiliki pusat di $2, 0$ dan berjari-jari $r = \sqrt6$. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh $\boxed{y-b = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2}}$ Untuk $a = 2$, $b = 0$, $m =-1$, dan $r = \sqrt6$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu $$\begin{aligned} y-0 & =-1x-2 \pm \sqrt6 \cdot \sqrt{1+-1^2} \\ y & =-x + 2 \pm \sqrt{12} \\ y & =-x+2 \pm 2\sqrt3 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y =-x + 2 + 2\sqrt3$ atau $y =-x+2-2\sqrt3$. Jawaban c Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2-3x+2y-3=0$. Persamaan di atas dapat diubah menjadi bentuk umum persamaan lingkaran dengan menggunakan metode kuadrat sempurna, yaitu $$\begin{aligned} \left[\leftx-\dfrac32\right^2-\dfrac94\right] + [y+1^2-1]-3 & = 0 \\ \leftx-\dfrac32\right^2 + y+1^2 & = \dfrac94+1+3 \\ \leftx-\dfrac32\right^2 + y+1^2 & = \dfrac94+1+3 \\ \leftx-\dfrac32\right^2 + y+1^2 & = \dfrac{25}{4} \end{aligned}$$Lingkaran ini memiliki pusat di $\left\dfrac32,-1\right$ dan berjari-jari $r = \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac52$. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh $\boxed{y-b = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2}}$ Untuk $a = \dfrac32$, $b =-1$, $m = 1$, dan $r = \dfrac52$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu $$\begin{aligned} y-1& = 1\leftx-\dfrac32\right \pm \dfrac52 \cdot \sqrt{1+1^2} \\ y+1 & = x-\dfrac32 \pm \dfrac52\sqrt{2} \\ y & = x-\dfrac52 \pm \dfrac52\sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y = x-\dfrac52 + \dfrac52\sqrt2$ atau $y = x-\dfrac52-\dfrac52\sqrt2$. Jawaban d Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2-3x-5=0$. Persamaan di atas dapat diubah menjadi bentuk umum persamaan lingkaran dengan menggunakan metode kuadrat sempurna, yaitu $\begin{aligned} \left[\leftx-\dfrac32\right^2-\dfrac94\right] + y^2-5 & = 0 \\ \leftx-\dfrac32\right^2 + y^2 & = \dfrac94+5 \\ \leftx-\dfrac32\right^2 + y^2 & = \dfrac{29}{5} \end{aligned}$ Lingkaran ini memiliki pusat di $\left\dfrac32, 0\right$ dan berjari-jari $r = \dfrac12\sqrt{29}$. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh $\boxed{y-b = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2}}$ Untuk $a = \dfrac32$, $b = 0$, $m =-3$, dan $r = \dfrac12\sqrt{29}$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu $$\begin{aligned} y-0 & =-3\leftx-\dfrac32\right \pm \dfrac12\sqrt{29} \cdot \sqrt{1+-3^2} \\ y & =-3x+ \dfrac92 \pm \dfrac12\sqrt{290} \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y =-3x+\dfrac92+\dfrac12\sqrt{290}$ atau $y =-3x+\dfrac92- \dfrac12\sqrt{290}$. Jawaban e Diketahui persamaan lingkaran $x+2^2+y-1^2=8$. Lingkaran ini memiliki pusat di $-2, 1$ dan berjari-jari $r = \sqrt8 = 2\sqrt2$. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh $\boxed{y-b = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2}}$ Untuk $a =-2$, $b = 1$, $m = 1$, dan $r = 2\sqrt2$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu $$\begin{aligned} y-1 & = 1x-2 \pm 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{1+1^2} \\ y & = x+3 \pm 4 \end{aligned}$$Dengan mengganti tanda $\pm$ menjadi $+$ atau $-$, kita peroleh persamaan garis singgung lingkaran itu, yakni $y = x+7$ atau $y = x-1.$ Jawaban f Diketahui persamaan lingkaran $x-1^2+y-5^2=10$. Lingkaran ini memiliki pusat di $1, 5$ dan berjari-jari $r = \sqrt{10}$. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh $\boxed{y-b = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2}}$ Untuk $a = 1$, $b = 5$, $m = 2$, dan $r = \sqrt{10}$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu $\begin{aligned} y-5 & = 2x-1 \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{1+2^2} \\ y & = 2x+3 + \pm 5\sqrt{2} \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y = 2x+3+5\sqrt2$ atau $y = 2x+3-5\sqrt2$. [collapse] Baca Soal dan Pembahasan- Gradien dan Persamaan Garis Lurus Soal Nomor 11 Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2-4x+8y+10=0$ yang memenuhi kriteria berikut. tegak lurus terhadap garis $x+3y-15=0$; sejajar terhadap garis $x+3y-15=0$. Pembahasan Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2-4x+8y+10=0$. Persamaan ini dapat diubah menjadi bentuk umumnya menggunakan metode kuadrat sempurna, yakni $$\begin{aligned} x-2^2-4+y+4^2-16+10 & =0 \\ x-2^2+y+4^2 & = 10 \end{aligned}$$Lingkaran ini memiliki titik pusat di $2,-4$ dan berjari-jari $r = \sqrt{10}$. Jawaban a Garis $x + 3y-15 = 0$ memiliki gradien $m_g =-\dfrac{\text{Koef.}~x}{\text{Koef.}~y} =-\dfrac{1}{3}$. Karena garis singgungnya tegak lurus dengan garis ini, maka gradien garis singgungnya adalah $m =-\dfrac{1}{m_g} = 3$. Persamaan garis singgungnya dirumuskan oleh $$\begin{aligned} y-b & = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2} \\ y-4 & =3x-2 \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{1 + 3^2} \\ y+4 & = 3x-6 \pm 10 \\ y & = 3x-10 \pm 10 \end{aligned}$$Jadi, ada $2$ garis singgung lingkaran tersebut, yaitu $y = 3x$ atau $y=3x-20$. Jawaban b Garis $x + 3y-15 = 0$ memiliki gradien $m_g =-\dfrac{\text{Koef.}~x}{\text{Koef.}~y} =-\dfrac{1}{3}$. Karena garis singgungnya sejajar dengan garis ini, maka gradien garis singgungnya sama, yaitu $m = m_g =-\dfrac13$. Persamaan garis singgungnya dirumuskan oleh $$\begin{aligned} y-b & = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2} \\ y-4 & =-\dfrac13x-2 \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{1 + \left-\dfrac13\right^2} \\ y+4 & =-\dfrac13x+\dfrac23 \pm \sqrt{10} \cdot \dfrac13\sqrt{10} \\ y & =-\dfrac13x-\dfrac{10}{3} \pm \dfrac{10}{3} \end{aligned}$$Jadi, ada $2$ garis singgung lingkaran tersebut, yaitu $y =-\dfrac13x$ atau $y=-\dfrac13x-\dfrac{20}{3}$. [collapse] Soal Nomor 12 Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada koordinat $-3,2$ dan menyinggung sumbu $Y$; koordinat $4,2$ dan menyinggung sumbu $X$. Pembahasan Jawaban a Karena pusatnya di $-3,2$ dan menyinggung sumbu $Y$, maka panjang jari-jarinya adalah jarak pusat dari sumbu $X$ ke sumbu $Y$, yaitu $r = 3$. Untuk itu, didapat $\begin{aligned} x-x_p^2 + y-y_p^2 & = r^2 \\ x + 3^2 + y- 2^2 & = 3^2 \\ x+3^2 + y-2^2 & = 9 \end{aligned}$ Jadi, persamaan lingkarannya adalah $\boxed{x+3^2 + y-2^2 = 9}$ Jawaban b Karena pusatnya di $4,2$ dan menyinggung sumbu $X$, maka panjang jari-jarinya adalah jarak pusat dari sumbu $Y$ ke sumbu $X$, yaitu $r = 2$. Untuk itu, didapat $\begin{aligned} x-x_p^2 + y-y_p^2 & = r^2 \\ x-4^2 + y-2^2 & = 2^2 \\ x-4^2 + y-2^2 & = 4 \end{aligned}$ Jadi, persamaan lingkarannya adalah $\boxed{x-4^2 + y-2^2 = 4}$ [collapse] Soal Nomor 13 Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $x-3^2 + y-4^2 = 25$ yang melalui titik $0,0$. Pembahasan Persamaan garis yang melalui titik pusat $0,0$ adalah $y = mx$ dengan $m$ sebagai gradiennya. Substitusikan $y = mx$ pada persamaan lingkaran tersebut. $$\begin{aligned} x-3^2 + y-4^2 & = 25 \\ x-3^2 + mx-4^2 & = 25 \\ x^2-6x + 9 + m^2x^2- 8mx + 16 & = 25 \\ 1 + m^2x^2- 8m + 6x & = 0 \end{aligned}$$Kita peroleh persamaan kuadrat dengan koefisien $x^2$, yaitu $a = 1 + m^2$, koefisien $x$, yaitu $b = 8m + 6$, dan konstanta $c = 0.$ Agar garis itu menyinggung lingkaran, maka diskriminannya haruslah bernilai $0$. $\begin{aligned} b^2-4ac & = 0 \\ -8m-6^2- 41 + m^20 & = 0 \\ -8m- 6^2 & = 0 \\-8m-6 & = 0 \\ m & = \dfrac{6}{-8} \\ m & =-\dfrac{3}{4} \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgung itu adalah $\boxed{y =-\dfrac{3}{4}x}$ [collapse] Soal Nomor 14 Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada garis $x + y-5 = 0$ dan melalui titik potong kedua lingkaran $x^2 + y^2- 2x-2y-34 = 0$ dan $x^2 + y^2 + 8x-2y-100 = 0$. Pembahasan Langkah 1 Menentukan titik potong kedua lingkaran Persamaan kedua lingkaran itu dalam bentuk umum adalah $\begin{aligned} x-1^2 + y-1^2 & = 36 \\ x+4^2 + y-1^2 & = 117 \end{aligned}$ Kurangkan persamaan atas dengan persamaan bawah untuk memperoleh $$\begin{aligned} x-1^2-x + 4^2 & =-81 \\ x^2-2x + 1-x^2 + 8x + 16 & =-81 \\-10x + 1-16 & =-81 \\-10x & =-66 \\ x & = \dfrac{33}{5} \end{aligned}$$Substitusikan nilai $x = \dfrac{33}{5}$ pada salah satu persamaan lingkaran, misalnya pada $x-1^2 + y-1^2 = 36$, sehingga didapat $\begin{aligned} \left\dfrac{33}{5}-1\right^2 + y-1^2 & = 36 \\ y-1 & = \pm \dfrac{1}{5}\sqrt{116} \\ y & = 1 \pm \dfrac{1}{5}\sqrt{116} \end{aligned}$ Ini berarti, ada 2 titik potong kedua lingkaran, yaitu pada koordinat $\left\dfrac{33}{5}, 1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right$ dan $\left\dfrac{33}{5}, 1-\dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right$. Langkah 2 Menentukan titik pusat lingkaran yang dimaksud Misalkan titik pusat lingkarannya, yaitu $x_p, y_p$, terletak pada garis $x + y-5 = 0$ sehingga berlaku $y_p = 5-x_p$. Ini berarti, $\begin{aligned} x-x_p^2 + y-y_p^2 & = r^2 \\ x-x_p^2 + y + x_p- 5^2 & = r^2 \end{aligned}$ Karena lingkaran melalui titik $\left\dfrac{33}{5}, 1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right$ dan $\left\dfrac{33}{5}, 1-\dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right$, diperoleh $$\begin{aligned} \left\dfrac{33}{5}-x_p\right^2 + \left\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p-5\right^2 & = r^2 \\ \left\dfrac{33}{5}-x_p\right^2 + \left-\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p-5\right^2 & = r^2 \end{aligned}$$Kurangi persamaan atas dengan persamaan bawah untuk mendapatkan $\begin{aligned} & \left\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p-5\right^2 \\ & = \left-\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p- 5\right^2 \end{aligned}$ Jabarkan, sehingga nantinya didapat $x_p = \dfrac{\frac{16}{5}\sqrt{116}}{\frac{4}{5}\sqrt{116}} = 4$ Ini berarti, $y_p = 1$. Jadi, titik pusat lingkarannya di $4, 1$. Langkah 3 Menentukan persamaan lingkaran Substitusikan $x_p = 4, y_p = 1, x = \dfrac{33}{5}, y = 1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116}$ pada persamaan lingkaran $x-x_p^2 + y-y_p^2= r^2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} r^2 & = \left\dfrac{33}{5}-4\right^2 + \left1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116}-1\right^2 \\ r^2 & = \dfrac{169}{25} + \dfrac{116}{25} = \dfrac{57}{5} \end{aligned}$$Jadi, persamaan lingkaran itu adalah $\boxed{x-4^2 + y-1^2 = \dfrac{57}{5}}$ Perhatikan grafiknya di bawah ini. [collapse] Baca Soal dan Pembahasan- Persamaan Kuadrat Versi HOTS & Olimpiade Soal Nomor 15 Tentukan persamaan lingkaran yang melalui $2,1$ dan konsentris dengan lingkaran $x^2+y^2+6x+8y-37=0.$ Pembahasan Lingkaran $x^2+y^2+6x+8y-37=0$ dapat diubah menjadi bentuk umum kanonik sebagai berikut. $$\begin{aligned} x^2+y^2+6x+8y-37 & = 0 \\ x^2+6x + y^2+8y- 37 & = 0 \\ x+3^2-9+y+4^2-16-37 &= 0 \\ x+3^2 + y+4^2 & = 62 \end{aligned}$$Pusat lingkaran di $-3,-4.$ Persamaan lingkaran yang berpusat di $-3,-4$ dan melalui titik $2,1$ adalah $r^2 = 2 + 3^2 + 1 + 4^2 = 50.$ Jadi, diperoleh $r^2 = 50.$ Dengan demikian, persamaan lingkaran yang dimaksud adalah $\boxed{x+3^2 + y+4^2 = 50}$ [collapse] Baca Soal dan Pembahasan- Fungsi Kuadrat Soal Nomor 16 Hitung nilai $A, B$, dan $C$ jika lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C = 0$ melalui titik $3,5, -2,4$, dan $-6,-2$. Pembahasan Substitusi tiap titik sebagai nilai $x, y$ pada persamaan lingkaran, sehingga diperoleh $$\begin{cases} 3^2 + 5^2 + 3A + 5B + C & = 0 \\ -2^2+4^2-2A+4B+C & = 0 \\ -6^2+-2^2-6A-2B+C & = 0 \end{cases}$$atau disederhanakan menjadi $\begin{cases} 3A+5B+C =-34 & 1 \\-2A+4B+C =-20 & 2 \\-6A- 2B +C =-40 & 3 \end{cases}$ Dari $1$ dan $2$, diperoleh $\begin{aligned} 3A + 5B + C =-34 \\-2A + 4B + C =-20 \\ \rule{ cm}{ \\ 5A + B =-14 &~~~4 \end{aligned}$ Dari $2$ dan $3$, diperoleh $\begin{aligned} 3A + 5B + C =-34 \\-6A- 2B + C =-40 \\ \rule{ cm}{ \\ 9A + 7B = 6 &~~~5 \end{aligned}$ Selanjutnya, dari $4$ dan $5$, diperoleh $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5A+B & =-14 \\ 9A+7B & = 6 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 7 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~35A+7B & =-98 \\ 9A+7B & = 6 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ \\ & \! \begin{aligned} 26A& =-104 \\ A & =-4 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusikan gantikan $A =-4$ pada persamaan $4$ atau $5$, misalkan pada persamaan $4$ . $\begin{aligned} 5A+B&=-14 \\ 5-4+B&=-14 \\-20+B&=-14 \\ B & = 6 \end{aligned}$ Substitusikan gantikan $A =-4$ dan $B = 6$ pada persamaan $1, 2$, atau $3$, misalkan pada persamaan $1$ . $\begin{aligned} 3A+5B+C & =-34 \\ 3-4 + 56 + C & =-34 \\-12+30+C&=-34 \\ C & =-52 \end{aligned}$ Jadi, nilai $A, B$, dan $C$ berturut-turut adalah $-4, 6$, dan $-52$. [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan- SPLTV Soal Nomor 17 Pada sebuah panggung, seorang penata lampu menggunakan lampu sorot untuk menyinari area panggung. Sinar yang dihasilkan dari lampu sorot berbentuk lingkaran dengan persamaan $x-13^2 + y-4^2 = 16.$ Buatlah gambar lingkaran yang dihasilkan lampu sorot pada bidang Kartesius. Jika tiga penampil, yaitu Handi, Lusi, dan Jane berturut-turut ada pada koordinat $11, 4, 8, 5$, dan $15, 5$, manakah penampil yang berada di luar sinar lampu sorot? Pembahasan Jawaban a Perhatikan bahwa $x-13^2 + y-4^2 = 16$ merupakan persamaan lingkaran yang berpusat di $13, 4$ dan berjari-jari $r = \sqrt{16} = 4.$ Posisikan titik $13, 4$, kemudian geser sejauh $4$ satuan ke kiri, kanan, atas, dan bawah, sehingga diperoleh titik $9, 4, 17, 4, 13, 8$, dan $13, 0$. Hubungkan keempat titik itu dengan menggunakan garis lengkung sehingga terbentuklah sebuah lingkaran. Jawaban b Substitusikan nilai $x$ dan $y$ berdasarkan koordinat $x, y$ yang diberikan ke bentuk $x-13^2 + y-4^2$. Perhatikan tiga ketentuan berikut Apabila bernilai kurang dari $16$, maka itu berarti titik koordinatnya berada di dalam lingkaran sinar lampu sorot; Apabila bernilai tepat $16$, maka itu berarti titik koordinatnya persis di tepi lingkaran tepi sinar lampu sorot; Apabila bernilai lebih dari $16$, maka itu berarti titik koordinatnya berada di luar lingkaran sinar lampu sorot; Untuk koordinat $11, 4$, diperoleh $\begin{aligned} 11-13^2 + 4-4^2 & = -2^2 + 0^2 \\ & = 4 16 \end{aligned}$ Jadi, Lusi berada di luar sinar lampu sorot. Untuk koordinat $15, 5$, diperoleh $$\begin{aligned} 15-13^2 + 5-4^2 & = 2^2 + 1^2 \\ & = 5 < 16 \end{aligned}$$Jadi, Jane berada di dalam sinar lampu sorot. Penampil yang berada di luar sinar lampu sorot adalah Lusi. [collapse] Soal Nomor 18 Sebuah radar ditempatkan pada koordinat $2, 3$ dan mampu mendeteksi hingga $50$ km ke segala arah. Buatlah persamaan yang menggambarkan kemampuan deteksi radar. Jika sebuah objek berada pada koordinat $40, 20$, dapatkah radar tersebut mendeteksinya? Berikan alasannya! Pembahasan Jawaban a Kemampuan deteksi radar itu dapat dideskripsikan sebagai lingkaran yang berpusat di $2, 3$ dan berjari-jari $r = 50$, atau $r^2 = 2500$. Persamaannya adalah $x-2^2 + y-3^2 = 2500.$ Jawaban b Substitusikan nilai $x = 40$ dan $y = 20$ pada bentuk $x-2^2 + y-3^2$ menghasilkan $\begin{aligned} 40-2^2 + 20-3^2 & = 38^2 + 17^2 \\ & = 1733 < 2500 \end{aligned}$ Karena itu, objek yang berada pada koordinat$40, 20$ terdeteksi oleh radar itu. [collapse] Soal Nomor 19 Sebuah asteroid yang melaju dengan persamaan $2y-2x-20=0$ diperkirakan akan menabrak sebuah satelit yang berputar mengelilingi bumi dengan persamaan $x^2+y^2=52.$ Tentukan titik koordinat tabrakan yang akan terjadi dengan asumsi titik $0,0$ dihitung dari inti bumi. Pembahasan Perhatikan bahwa $\begin{aligned} 2y-2x-20&=0 \\ 2y & = 2x+20 \\ y & = x+10 \end{aligned}$ Substitusikan $y = x+10$ ke persamaan lingkaran $x^2+y^2=52$, sehingga ditulis $\begin{aligned} x^2+x+10^2 & = 52 \\ x^2 + x^2+20x+100 & = 52 \\ 2x^2+20x+8& = 0 \\ x^2+10x+24&=0 \\ x+6x+4 & = 0 \end{aligned}$ Diperoleh $x=-6$ atau $x=-4.$ Untuk $x=-6$, diperoleh $y = x + 10 \Rightarrow y =-6+10 = 4.$ Untuk $x=-4$, diperoleh $y = x + 10 \Rightarrow y =-4+10 = 6.$ Jadi, titik tabrakannya berada di koordinat $-6,4$ dan $-4, 6.$ [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan- Lingkaran Tingkat SD Yuk simak 13+ persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah Sedangkan persamaan kedua adalah persamaan garis lurus yang melalui dua titik yaitu A x 1 y 1 dan titik B x 2 y 2. Persamaaan grafik fungsi seperti tampak pada gambar adalah. Misalnya untuk menggambar y 2x -3 cukup ketikkan saja 2x-3 atau y2x-3 secara langsung akan terbentuk gambar dari persamaan garis tersebut seperti tampak pada gambar berikut. Pelajari jugaseperti dan persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah Soal dapat diunduh dalam format PDF melalui tautan berikut. Misalkan titik yang dilalui adalah A x fi y 2 dan B x 2 y 2. Seperti yang Anda lihat pada Gambar 1 layar program GeoGebra terdiri atas beberapa bagian. Y a bx dimana a adalah penggal garisnya pada sumbu vertikal y sedangkan b adalah koefisien arah atau gradien garis yang bersangkutan. Cara Menentukan Gradien Garis Saling Tegak Lurus Contoh Soal Cara Menentukan Gradien Garis Saling Tegak Lurus Luas trapesium ABCD seperti tampak pada gambar adalah A 40 B 46 C 48 D 50 E 50 from AA file DocUkuran file 725kbUkuran kertas soal FolioTanggal pembuatan soal Desember 2019 Jumlah soal Cara Menentukan Gradien Garis Saling Tegak Lurus 281 Halaman Lihat Cara Menentukan Gradien Garis Saling Tegak LurusVersi terakhir pada saat ini adalah GeoGebra 30 dapat digambarkan dengan x 0 yang memberikan nilai y b. Swindoll Hidup adalah 10 hal yang terjadi pada. Persamaan garis c adalah - Brainlycoid Persamaan Garis B Seperti Tampak Pada Gambar Disamping Adalah - Tempat Berbagi Gambar Persamaan garis p seperti tampak pada gambar adalah A. Alam Modul Pertama ini kita akan membahas tentang Sistem. Persamaan garis singgung Adalah. Dengan menggunakan GeoGebra garis dapat dengan mudah dibuat dari sebuah persamaan garis. Contoh soal persamaan garis lurus. Soal Dan Pembahasan Super Lengkap Gradien Dan Persamaan Garis Lurus Mathcyber1997 Contoh Soal Soal Dan Pembahasan Super Lengkap Gradien Dan Persamaan Garis Lurus Mathcyber1997 Jika dike- tahui dua titik yang dilalui garis lurus tersebut maka langkah-langkah menentukan persamaan garis lurus adalah sebagai file PDFUkuran file kertas soal LetterTanggal pembuatan soal Agustus 2019 Jumlah soal Soal Dan Pembahasan Super Lengkap Gradien Dan Persamaan Garis Lurus Mathcyber1997 334 Halaman Lihat Soal Dan Pembahasan Super Lengkap Gradien Dan Persamaan Garis Lurus Mathcyber1997 Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai gradien dan persamaan garis lurus yang dianjurkan untuk dipelajari oleh siswa tingkat SMPSederajat terutama untuk menguatkan pemahaman konsep dan persiapan ulangan semester. Persamaan Garis B Seperti Tampak Pada Gambar Adalah Brainly Co Id Contoh Soal Persamaan Garis B Seperti Tampak Pada Gambar Adalah Brainly Co Id Dan garis lurus dapat dinyatakan dalam berbagai file PNGUkuran file kertas soal A4Tanggal pembuatan soal Oktober 2020 Jumlah soal Persamaan Garis B Seperti Tampak Pada Gambar Adalah Brainly Co Id 270 Halaman Lihat Persamaan Garis B Seperti Tampak Pada Gambar Adalah Brainly Co Id Cukup mengetikkan persamaan garisnya gambar akan langsung terbentuk. Soal Dan Pembahasan Matematika Latihan 4 2 Kelas 8 Bab Persamaan Garis Lurus Kedai Mipa Contoh Soal Soal Dan Pembahasan Matematika Latihan 4 2 Kelas 8 Bab Persamaan Garis Lurus Kedai Mipa Persamaan garis lurus yaitu perbandingan antara koordinat x dan y dari 2 titik yang terletak pada suatu garis file DocxUkuran file kertas soal A3Tanggal pembuatan soal Mei 2018 Jumlah soal Soal Dan Pembahasan Matematika Latihan 4 2 Kelas 8 Bab Persamaan Garis Lurus Kedai Mipa 131 Halaman Lihat Soal Dan Pembahasan Matematika Latihan 4 2 Kelas 8 Bab Persamaan Garis Lurus Kedai Mipa Aktivitas Belajar Persamaan Lingkaran dan Garis Singgungnya. Posisi Garis Dalam Bidang Koordinat Cartesius Contoh Soal Posisi Garis Dalam Bidang Koordinat Cartesius Pada sumbu Y seperti yang tampak pada Gambar file JPGUkuran file 3mbUkuran kertas soal HVSTanggal pembuatan soal Agustus 2020 Jumlah soal Posisi Garis Dalam Bidang Koordinat Cartesius 212 Halaman Lihat Posisi Garis Dalam Bidang Koordinat Cartesius Rumus kemiringan-titik potong suatu garis ditulis sebagai y mxb yaitu m adalah tingkat kemiringan dan b adalah titik potong-y titik pada garis yang memotong sumbu y. Persamaan Garis B Seperti Tampak Pada Gambar Adalah Brainly Co Id Contoh Soal Persamaan Garis B Seperti Tampak Pada Gambar Adalah Brainly Co Id Berikut ini adalah beberapa rumus untuk menyatakan persamaan garis lurus file DocxUkuran file kertas soal A3Tanggal pembuatan soal April 2021 Jumlah soal Persamaan Garis B Seperti Tampak Pada Gambar Adalah Brainly Co Id 298 Halaman Lihat Persamaan Garis B Seperti Tampak Pada Gambar Adalah Brainly Co Id Masukkan nilai m dalam rumus kemiringan-titik potong dengan angka yang sebelumnya diperoleh. Matematika Kelas 2 Smp Mencari Kemiringan Gradien Pada Garis Lurus Nata Privat Les Privat Bandung Jabodetabek Bentuk umum persamaan linier adalah. Persamaan Garis P Seperti Tampak Pada Gambar Adalah Brainly Co Id Contoh Soal Persamaan Garis P Seperti Tampak Pada Gambar Adalah Brainly Co Id Banyak pohon pinus yang dibutuhkan adalah file DocUkuran file 800kbUkuran kertas soal A3Tanggal pembuatan soal September 2017 Jumlah soal Persamaan Garis P Seperti Tampak Pada Gambar Adalah Brainly Co Id 250 Halaman Lihat Persamaan Garis P Seperti Tampak Pada Gambar Adalah Brainly Co Id Dengan menggunakan GeoGebra garis dapat dengan mudah dibuat dari sebuah persamaan garis. Geometri Analitik Ruang Contoh Soal Geometri Analitik Ruang Persamaan garis singgung file PDFUkuran file kertas soal HVSTanggal pembuatan soal Oktober 2017 Jumlah soal Geometri Analitik Ruang 164 Halaman Lihat Geometri Analitik Ruang Ini dapat digambarkan dengan x 0 yang memberikan nilai y b. Contoh Soal Cara Menghitung Jarak Titik Ke Garis Pada Kubus Persamaan Hiperbola Dan Unsur Unsurnya Konsep Matematika Koma Persamaan Blog Soal Dan Pembahasan Super Lengkap Gradien Dan Persamaan Garis Lurus Mathcyber1997 Sekian Post mengenai persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah, Persamaan hiperbola dan unsur unsurnya konsep matematika koma persamaan blog posisi garis dalam bidang koordinat cartesius soal dan pembahasan super lengkap gradien dan persamaan garis lurus mathcyber1997 matematika kelas 2 smp mencari kemiringan gradien pada garis lurus nata privat les privat bandung jabodetabek soal dan pembahasan super lengkap gradien dan persamaan garis lurus mathcyber1997 05 cara menggambar grafik fungsi linear atau persamaan garis lurus soal dan pembahasan matematika latihan 4 2 kelas 8 bab persamaan garis lurus kedai mipa geometri analitik ruang, semoga membantu. Disclaimer Images, articles or videos that exist on the web sometimes come from various sources of other media. Copyright is fully owned by the source. If there is a problem with this matter, you can contact

persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah